0-1 Planificación de información detallada

La planificación 0-1 es un tipo especial de planificación entera en la que las variables de decisión solo toman el valor 0 o 1. Al abordar ciertos problemas de planificación en la gestión económica, si las variables de toma de decisiones adoptan variables 0-1, es decir, variables lógicas, los temas que originalmente debían discutirse por separado en varias situaciones se pueden unificar y discutir en un solo tema. Introducción básica Nombre chino: programación 0-1 Nombre extranjero: programación cero-uno Esencia: un tipo especial de programación entera que solo toma el valor 0 o 1 Ámbito de aplicación: resolución de problemas de planificación mutuamente excluyentes, etc. También conocido como: Introducción a variables binarias, Aplicar, problema de planificación mutuamente excluyente, problema de restricción, problema de costo fijo, problema de asignación, método de solución, programación entera cero, Introducción 0-1 La planificación es una forma especial de programación entera. Las variables de decisión de este tipo de planificación solo toman el valor 0 o 1, por lo que se denominan variables 0-1 o variables binarias, porque un número entero no negativo puede representarse mediante varias variables 0-1 usando notación binaria. Las variables 0-1 pueden describir cuantitativamente las relaciones lógicas, las relaciones secuenciales y las restricciones mutuamente excluyentes entre variables discretas reflejadas en fenómenos como encendido y apagado, toma y descarte, presencia y ausencia, etc. Por lo tanto, la planificación 0-1 es muy adecuada para describir y resolver diversos problemas que preocupan a la gente, como el diseño de circuitos, la ubicación de la fábrica, la planificación de la producción, las compras en viajes, los problemas de las mochilas, la organización del personal, la selección de códigos, la confiabilidad, etc. De hecho, cualquier programa de números enteros con variables acotadas se puede convertir en un programa 0-1 para su procesamiento. Debido a sus profundos antecedentes y su amplia aplicación, la planificación 0-1 ha sido valorada por la gente durante décadas. La planificación 0-1 se utiliza principalmente para resolver problemas de planificación mutuamente excluyentes, problemas de restricciones mutuamente excluyentes, problemas de costos fijos y problemas de asignación. Aplicar problemas de planificación mutuamente excluyentes, como determinar proyectos de inversión, seleccionar lugares de inversión, decidir lanzar productos, etc. Supongamos que hay varios productos, la ganancia obtenida después de que cada producto se pone en producción es c j, el límite de inversión es B y el valor de la variable de decisión xj se especifica como en la Figura 1. Entonces el modelo matemático de esta planificación 0-1 es Figura 2 Figura 3 donde max representa la solución Valor máximo; s.t. significa "sujeto a"; z es la función objetivo; aj es el monto de inversión de varios productos. El problema de restricciones se establece con m restricciones mutuamente excluyentes (≤ tipo) a i 1 x 1 a i 2 x 2… a in x n ≤ b i (i =1, 2,…, m). Sólo una funciona Introduce m 0-1 variables y i y una constante M lo suficientemente grande para construir m 1 restricciones a i 1 x 1 a i 2 x 2 … a in x n ≤ b i y i M y 1 y 2 … y m = m -1 Porque solo una. de m yi puede tomar el valor 0, solo una restricción puede tener efecto. Por ejemplo, si se transportan dos tipos de mercancías, sus cantidades son x 1 y x 2 respectivamente, el volumen de las mercancías no excederá b 1 cuando se transportan en camión, y el peso de las mercancías no excederá b 2 cuando se transportan por camión. barco, es decir, a 11 x 1 a 12 x 2 ≤ b 1 (camión (envío), a 21 x 1 a 22 x 2 ≤ b 2 (envío). Si sólo se puede utilizar un método de envío, estas dos restricciones son mutuamente excluyentes.

Para unificarlo en un problema, consulte la variable 0-1 y i, suponga la Figura 4 Figura 5 para transformar las restricciones anteriores en el siguiente conjunto de restricciones: a 11 x 1 a 12 x 2 ≤ b 1 y 1 M a 21 x 1 a 21 y 2 =0, las restricciones de envío se obtienen de la ecuación 2. Por lo tanto, las restricciones mutuamente excluyentes anteriores se reemplazan por un conjunto de restricciones simultáneas. Problema de costos fijos El problema de costos fijos no se puede resolver mediante programación lineal general y se requiere planificación 0-1. Hay n métodos de producción para elegir, xi es la producción cuando se usa el método i-ésimo, c i es el costo variable de cada producto cuando se usa el método i-ésimo, ki es el costo fijo cuando se usa el método i-ésimo, usando cada Los costos totales de los tres métodos de producción son respectivamente ( i =1, 2,..., n ) Figura 6 Al formar la función objetivo, para unificar la discusión en un problema, la variable 0-1 y i es introducido, es decir, esta planificación 0-1 El modelo matemático se muestra en la Figura 7 Figura 8. En la fórmula, min significa encontrar el valor mínimo y M es una constante suficientemente grande. El problema de asignación implica que varias personas completen varias tareas. Sin embargo, debido a la diferente naturaleza de las tareas y la diferente experiencia de cada persona, se debe asignar a qué persona completar qué tarea para maximizar la eficiencia general o minimizar el tiempo total invertido. Este tipo de problema se llama problema de asignación, también conocido como problema de asignación. El problema de asignación debe dar una matriz de coeficientes (también llamada matriz de eficiencia). Los elementos de la matriz c ij (gt; 0) (i, j =1, 2,..., n) representan el momento en que i-. Se envía a la enésima persona para completar la j-ésima tarea. Eficiencia (o tiempo, costo, etc.). Con referencia a la variable 0-1 x ij, suponga que el modelo matemático del problema de asignación en la Figura 9 es la Figura 10 Figura 11 La primera restricción indica que la j-ésima tarea solo puede ser completada por una persona, y la segunda restricción indica que la j-ésima tarea solo puede ser completada por una persona que la i-ésima persona solo puede completar 1 tarea. La solución al problema de asignación se puede escribir en forma matricial (x ij), en la que la suma de los elementos de cada fila y columna es 1. Método de solución El método principal para resolver la planificación 0-1 es el método de enumeración implícita (como el método de rama y enlace). Existen algunos métodos más eficaces para algunos problemas especiales. Por ejemplo, para problemas de asignación, es más conveniente y eficaz utilizar el método húngaro inventado por D. Koenig. Generalmente existen tres soluciones para los problemas de planificación 0-1, a saber, el método de transformación, el método de enumeración exhaustiva y el método de enumeración implícita. Los métodos de transformación se utilizan para resolver problemas especiales de planificación 0-1. El método exhaustivo consiste en verificar cada combinación de valores de variables 0 o 1 y comparar el valor de la función objetivo para encontrar la solución óptima, lo que requiere verificar 2 n combinaciones de valores de variables. En el caso de ngt;10, esto es casi imposible de hacer. Por lo tanto, algunos métodos suelen diseñarse para obtener la solución óptima del problema comprobando sólo una parte de las combinaciones de valores de las variables. Este método se llama método de enumeración implícita. Cuando se utiliza el método de enumeración implícita para resolver el problema de planificación 0-1, se debe agregar una desigualdad correspondiente como restricción adicional basada en las propiedades de la función objetivo, llamada condición de filtro, para reducir el número de operaciones. Generalmente, el orden de x i en la función objetivo y las restricciones se deben reorganizar en el orden de los coeficientes crecientes de x i en la función objetivo para simplificar el cálculo. Programación entera cero-uno [programación entera cero-uno] La programación entera 0-1 es el tipo más simple de programación entera, es decir, las variables solo toman 0 o 1, x es (1, 0) el problema de la mochila vectorial es un cero típico planificación entera. La programación de enteros cero se puede resolver mediante el método de ramificación y vinculación, que se puede describir brevemente a continuación.

Sean n 0-1 variables enteras, registre el problema original como y su programación lineal relajada como y registre su valor de solución óptima como. El primer paso es resolver la programación lineal relajada de los dos subproblemas. Si el valor de la solución óptima es y ambas soluciones son soluciones enteras, entonces la menor es la solución óptima si una de ellas es una solución entera y la correspondiente; Si el valor óptimo es menor o igual que el valor óptimo de otro subproblema, entonces la solución entera es la solución óptima del problema original. Cuando no se cumple ninguna de las condiciones anteriores, la segunda variable se descompone para el subplan cuyo valor óptimo es menor o menor que el valor entero existente de la solución y la solución es no entera. Los principios de los siguientes pasos son los mismos y los algoritmos específicos suelen utilizar técnicas diferentes.