¿Qué es una ecuación diferencial parcial?

El origen de las ecuaciones diferenciales parciales

Si la función desconocida en una ecuación diferencial contiene solo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria, también conocida como ecuación diferencial si es la derivada parcial de a; La función multivariada aparece en una ecuación diferencial, o la función desconocida está relacionada con varias variables, y las derivadas de la función desconocida con respecto a varias variables aparecen en la ecuación, entonces esta ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial.

Hoy en día, con el rápido desarrollo de la ciencia y la tecnología, no es suficiente describir muchos problemas que las personas estudian mediante una función de una variable independiente. Muchos problemas se describen mediante funciones multivariadas. Por ejemplo, desde una perspectiva física, las cantidades físicas tienen diferentes propiedades, como temperatura, densidad, etc. Descrito por valores numéricos llamados escalares; velocidad, campo eléctrico, fuerza gravitacional, etc. , no solo tienen valores diferentes, sino que también tienen direcciones. Estas cantidades se llaman vectores. La cantidad descrita por el estado de tensión de un objeto en un punto se llama tensor, y así sucesivamente. Estas cantidades no sólo están relacionadas con el tiempo, sino también con las coordenadas espaciales, y deben expresarse como funciones de variables multivariadas.

Cabe señalar que todos los fenómenos físicos posibles sólo pueden expresarse mediante funciones de algunas variables multivariadas, como la densidad del medio, pero en realidad la densidad de un punto no existe. Y consideramos la densidad en un punto como el límite de la relación masa-volumen de la materia cuando el volumen se reduce infinitamente, lo cual es ideal. Lo mismo ocurre con la temperatura del medio. Esto produce una ecuación de función multivariada ideal para estudiar ciertos fenómenos físicos, que es una ecuación diferencial parcial.

La disciplina del cálculo de ecuaciones surgió en el siglo XVIII. Euler propuso por primera vez la ecuación de segundo orden de la vibración de las cuerdas en su trabajo. Poco después, el matemático francés d'Alembert también propuso una ecuación diferencial parcial especial en su libro "Dinámica". Estas obras no llamaron mucho la atención en su momento. En 1746, D'Alembert propuso en su artículo "Estudio de las curvas formadas por vibración de cuerdas tensadas" demostrar que infinitas curvas diferentes de las sinusoidales son modos de vibración. De esta manera, el estudio de la vibración de las cuerdas creó la disciplina de las ecuaciones diferenciales parciales.

Daniel Bernoulli, matemático suizo contemporáneo de Euler, también estudió problemas de física matemática y propuso un método general para comprender la vibración de los sistemas elásticos, que tuvo una gran influencia en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales parciales. . Lagrange también analizó las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, enriqueciendo el tema.

Las ecuaciones diferenciales parciales se desarrollaron rápidamente en el siglo XIX. En ese momento, la investigación sobre problemas de física matemática estaba en auge y muchos matemáticos contribuyeron a la solución de problemas de física matemática. Cabe mencionar aquí al matemático francés Fourier. Fue un excelente matemático en su juventud. En el estudio del flujo de calor, escribió "La teoría analítica del calor", en la que propuso una ecuación de calor en el espacio tridimensional, que es una ecuación diferencial parcial. Su investigación tuvo una gran influencia en el desarrollo de ecuaciones diferenciales parciales.

Contenido de las ecuaciones diferenciales parciales

¿Cómo son las ecuaciones diferenciales parciales? ¿Qué incluye? Aquí podemos introducirlo a partir del estudio de un ejemplo.

La vibración de las cuerdas es una especie de movimiento mecánico. Por supuesto, la ley básica del movimiento mecánico es F = ma de la mecánica de partículas, pero las cuerdas no son partículas, por lo que las leyes de la mecánica de partículas no son aplicables al estudio de la vibración de las cuerdas. Pero si dividimos la cuerda en segmentos diminutos y cada segmento se considera de manera abstracta como una partícula, entonces podemos aplicar las leyes básicas de la mecánica de partículas.

Strin se refiere a un material elástico delgado y largo. Por ejemplo, las cuerdas utilizadas en los instrumentos de cuerda son largas, suaves y elásticas. Al tocar, la cuerda siempre está tensa y hay una tensión que es decenas de miles de veces mayor que el peso de la cuerda. Cuando un jugador tira de una cuerda con una sábana o tira de una cuerda con un arco, ésta solo vibra por el contacto con una sección de la cuerda, pero debido a la tensión, se propaga hasta hacer vibrar toda la cuerda.

A través del análisis diferencial podemos obtener una ecuación diferencial parcial. El desplazamiento de un punto en la cuerda es la posición y el tiempo de este punto como variables independientes. Hay muchos tipos de ecuaciones parciales, incluidas ecuaciones diferenciales parciales elípticas, ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas. El ejemplo anterior es una ecuación de vibración de cuerdas, que pertenece a la ecuación de onda en las ecuaciones de física matemática, es decir, una ecuación diferencial parcial hiperbólica.

Generalmente las ecuaciones diferenciales parciales tienen infinitas soluciones, pero a la hora de resolver problemas físicos específicos se debe seleccionar la solución requerida, por lo que también se deben conocer condiciones adicionales. Debido a que las ecuaciones diferenciales parciales son expresiones de leyes comunes de fenómenos similares, el simple hecho de conocer esta ley común no es suficiente para captar y comprender la particularidad de problemas específicos. Por lo tanto, en lo que respecta a los fenómenos físicos, la particularidad de cada problema específico radica en la. condiciones específicas del objeto de investigación, es decir, condiciones iniciales y condiciones de contorno.

Tomemos como ejemplo la vibración de la cuerda mencionada anteriormente. Para un instrumento de cuerda con la misma cuerda, si uno usa una pieza delgada para puntear la cuerda y el otro usa un arco para tirar de la cuerda, los sonidos producidos son diferentes. La razón es que las condiciones de vibración en el momento "inicial" de "tracción" o "tracción" son diferentes, por lo que las condiciones de vibración posteriores también son diferentes.

Una situación similar existe en la astronomía. Si queremos predecir el movimiento de los cuerpos celestes mediante el cálculo, debemos conocer la masa de estos cuerpos celestes. Además de la fórmula general de la ley de Newton, también debemos conocer el estado inicial del sistema de cuerpos celestes que estamos estudiando. es decir, el estado de estos cuerpos celestes en un determinado momento inicial, distribución y su velocidad. Al resolver cualquier ecuación de física matemática, siempre existen condiciones adicionales similares.

En lo que respecta a la vibración de la cuerda, la ecuación de vibración de la cuerda solo expresa las leyes mecánicas de los puntos interiores de la cuerda y no se cumple para los puntos finales de la cuerda. Por lo tanto, las condiciones de contorno deben ser. dado en ambos extremos de la cuerda, es decir, la investigación debe considerar las condiciones físicas en el límite donde se encuentra el objeto. Las condiciones de frontera también se denominan problemas de valores de frontera.

Por supuesto, todavía existen "problemas sin condiciones iniciales" en la realidad objetiva, como problemas de campo electrostático (campo electrostático, distribución estable de concentración, distribución estable de temperatura, etc.) y "problemas sin condiciones límite". . Por ejemplo, si nos centramos en la sección donde los dos extremos de la cuerda no están cerca, se convertirá en una cuerda abstracta sin límites.

Matemáticamente, las condiciones iniciales y las condiciones de contorno se denominan condiciones de solución definida. La ecuación diferencial parcial en sí misma expresa los puntos comunes del mismo tipo de fenómenos físicos y sirve como base para resolver problemas, las condiciones de solución definidas reflejan la personalidad del problema específico y plantea la situación específica del problema. La ecuación y las condiciones de solución definida se combinan en una sola, lo que se denomina problema de solución definida.

Para resolver el problema de solución definida de ecuaciones diferenciales parciales, primero se puede encontrar su solución general y luego determinar la función con condiciones de solución definida. Pero en términos generales, en la práctica no es fácil encontrar una solución general, y es aún más difícil determinar la función con ciertas condiciones de solución.

Las ecuaciones diferenciales parciales también se pueden resolver mediante el método de separación de coeficientes, también llamado serie de Fourier; también se pueden resolver mediante el método de separación de variables, también llamado transformada de Fourier o integral de Fourier. El método del coeficiente de separación puede resolver el problema de solución definida del espacio acotado, y el método de la variable de separación puede resolver el problema de solución definida del espacio ilimitado. El método de la transformada de Laplace también se puede utilizar para resolver soluciones definidas de ecuaciones matemáticas y físicas en un espacio unidimensional. La transformada de Laplace convierte una ecuación en una ecuación diferencial ordinaria, teniendo en cuenta las condiciones iniciales. Basta con resolver la ecuación diferencial ordinaria y luego volver a calcularla.

Cabe señalar que, aunque existen varias soluciones para las soluciones definidas de ecuaciones diferenciales parciales, no se puede ignorar que muchos problemas con soluciones definidas no pueden resolverse estrictamente por algunas razones y solo pueden resolverse mediante métodos aproximados. Métodos para encontrar soluciones aproximadas que satisfagan las necesidades reales.

Los métodos más utilizados incluyen el método de variación y el método de diferencias finitas. El método variacional convierte el problema de solución definida en un problema variacional y luego encuentra una solución aproximada al problema variacional; el método de diferencias finitas convierte el problema de solución definida en una ecuación algebraica y luego usa una computadora para calcularlo. También existe un método de simulación más significativo, que reemplaza la solución definitiva de un problema físico con el estudio experimental de otro problema físico. Aunque los fenómenos físicos son de naturaleza diferente, en matemáticas se expresan de manera abstracta como el mismo problema de solución fija. Por ejemplo, el problema de la distribución estable de la temperatura dentro de un objeto irregular es matemáticamente un problema de valor límite de la ecuación de Laplace. Debido a que es difícil de resolver, se puede estudiar experimentalmente el campo electrostático correspondiente o el campo de corriente estable, y se puede medir el potencial de cada parte del campo para resolver el problema de distribución de temperatura en el campo de temperatura estable estudiado.

A medida que los fenómenos estudiados en las ciencias físicas se expanden en amplitud y profundidad, el rango de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales parciales se vuelve cada vez más amplio. Desde la perspectiva de las matemáticas mismas, la solución de ecuaciones diferenciales parciales ha impulsado el desarrollo de las matemáticas en teoría de funciones, cálculo de variaciones, expansión de series, ecuaciones diferenciales ordinarias, álgebra, geometría diferencial, etc. Desde esta perspectiva, las ecuaciones diferenciales parciales se han vuelto fundamentales para las matemáticas.

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