Explicación de ecuaciones para ecuaciones diferenciales parciales

Las cantidades físicas del mundo objetivo generalmente cambian con el tiempo y la posición espacial, por lo que pueden expresarse como funciones de la coordenada temporal t y la coordenada espacial. El patrón de cambio de esta cantidad física a menudo se expresa como la relación entre sus diversas tasas de cambio con respecto a las coordenadas temporales y espaciales, es decir, las ecuaciones entre varias derivadas parciales de la función U con respecto a t y t.

Por ejemplo, en un objeto de transferencia de calor uniforme, la temperatura u satisface la siguiente ecuación:

(1)

Tal función desconocida y sus derivadas parciales La ecuación se llama ecuación diferencial parcial. En términos generales, si es una variable independiente, la forma general de una ecuación diferencial parcial con U como función desconocida es

(2)

Aquí f es una función de su variable independiente variable, que contiene El orden más alto de derivadas parciales se llama orden de una ecuación diferencial parcial.

Un sistema de ecuaciones compuesto por varias ecuaciones diferenciales parciales se denomina sistema de ecuaciones diferenciales parciales, y sus funciones desconocidas también pueden ser varias. Cuando el número de ecuaciones excede el número de funciones desconocidas, el sistema de ecuaciones diferenciales parciales se llama sobredeterminado; cuando el número de ecuaciones es menor que el número de funciones desconocidas, se llama subdeterminado.

Si una ecuación diferencial parcial (conjunto) es lineal con respecto a todas las funciones desconocidas y sus derivadas, se llama ecuación diferencial parcial lineal (conjunto). De lo contrario, se denomina ecuación diferencial parcial no lineal (conjunto). En una ecuación diferencial parcial (conjunto) no lineal, si la derivada de orden más alto de la función desconocida es lineal, se denomina ecuación diferencial parcial (conjunto) cuasi lineal.

Supongamos que ω es una región en el espacio de variables independientes r, y u es una función con derivadas de orden |α| continuas definidas en esta región. Si la ecuación (2) puede igualarse en ω, entonces se dice que U es la solución de la ecuación en el sentido clásico en ω, denominada solución clásica. Si no hay ningún malentendido, se llama resolución.

La teoría de ecuaciones diferenciales parciales estudia si una ecuación (grupo) tiene solución (la existencia de la solución), cuántas soluciones hay (la unicidad o grado de libertad de la solución), la solución y diversas propiedades de la solución, etc. , e intente utilizar ecuaciones diferenciales parciales para explicar y predecir fenómenos naturales tanto como sea posible, y aplicarlos a diversas tecnologías de ciencia e ingeniería. La formación y el desarrollo de la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales están estrechamente relacionados con el desarrollo de la física y otras ciencias naturales y se promueven mutuamente. El desarrollo de otras ramas de las matemáticas, como el análisis, la geometría, el álgebra, la topología y otras teorías, también ha tenido un profundo impacto en las ecuaciones diferenciales parciales.

Otra descripción general

Con el rápido desarrollo de la ciencia y la tecnología hoy en día, no es suficiente describir muchos problemas que las personas estudian mediante una función de una variable independiente. Muchos problemas se describen mediante. funciones multivariadas. Por ejemplo, desde una perspectiva física, las cantidades físicas tienen diferentes propiedades, como temperatura, densidad, etc. Descrito por valores numéricos llamados escalares; velocidad, campo eléctrico, fuerza gravitacional, etc. , no solo tienen valores diferentes, sino que también tienen direcciones. Estas cantidades se llaman vectores. La cantidad descrita por el estado de tensión de un objeto en un punto se llama tensor, y así sucesivamente. Estas cantidades no sólo están relacionadas con el tiempo, sino también con las coordenadas espaciales, y deben expresarse como funciones de variables multivariadas.

Cabe señalar que todos los fenómenos físicos posibles sólo pueden expresarse mediante funciones de algunas variables multivariadas, como la densidad del medio, pero en realidad la densidad de un punto no existe. Y consideramos la densidad en un punto como el límite de la relación masa-volumen de la materia cuando el volumen se reduce infinitamente, lo cual es ideal. Lo mismo ocurre con la temperatura del medio. Esto produce una ecuación de función multivariada ideal para estudiar ciertos fenómenos físicos, que es una ecuación diferencial parcial.