¡Pregunta de matemáticas!
En 1900, Hilbert fue invitado a asistir al Congreso Internacional de Matemáticos en París y pronunció un importante discurso titulado "Problemas matemáticos". En este discurso histórico, en primer lugar, destacó muchos puntos importantes:
Así como cada empresa humana persigue un objetivo determinado, la investigación matemática también necesita sus propios problemas. Fue a través de la resolución de estos problemas que los investigadores ejercieron su voluntad de hierro, descubrieron nuevas ideas y alcanzaron un ámbito más amplio de libertad.
Hilbert puso especial énfasis en el papel de los grandes problemas en el desarrollo de las matemáticas. Señaló: "Si queremos tener una idea del posible desarrollo del conocimiento matemático en un futuro próximo, debemos mirar hacia atrás, a los problemas que plantea la ciencia hoy y esperar resolverlos en el futuro". Al mismo tiempo, señaló: "Ciertos problemas son muy importantes para La profunda importancia de los procesos matemáticos generales y su importante papel en el trabajo individual del investigador es innegable. Mientras una rama de la ciencia pueda plantear un gran número de problemas, está lleno de vitalidad y la ausencia de problemas indica el declive o el cese del desarrollo independiente".
Explicó las características de los problemas principales. Un buen problema debe tener las siguientes tres características:
Claro y fácil de entender;
Aunque difícil, da esperanza a la gente;
Muy profundo.
Al mismo tiempo, analizó las dificultades que suelen encontrarse en el aprendizaje de problemas matemáticos y algunos métodos para superarlas. Fue en esta reunión que propuso 23 problemas que los matemáticos deberían trabajar duro para resolver en el nuevo siglo, los famosos "23 problemas de Hilbert".
La situación de la resolución de problemas de numeración en el campo de la promoción del desarrollo
1 Teoría axiomática de conjuntos de la hipótesis del continuo En 1963, Paul J. Cohen demostró que el primer problema es irresoluble en el siguiente sentido . En otras palabras, en el sistema de axiomas de Zermelo-Frankel, no se puede juzgar la verdad de la hipótesis del continuo.
2 Base matemática de la compatibilidad de los axiomas aritméticos La idea de Hilbert de demostrar la compatibilidad de los axiomas aritméticos se desarrolló más tarde en el plan sistemático de Hilbert (“metamatemática” o “teoría de la prueba”). Sin embargo, señaló Gödel en. su "Teorema incompleto" en 1931 de que es imposible demostrar la compatibilidad de los axiomas aritméticos utilizando la "metamatemática". La cuestión de la compatibilidad de las matemáticas aún no se ha resuelto.
La fundamentación geométrica de dos tipos de tetraedros de base alta con volúmenes iguales se conoció pronto (1900), y el alumno de Hilbert, M. Dehn, respondió definitivamente.
La base geométrica de la pregunta de que una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos es demasiado general. Después de Hilbert, muchos matemáticos se dedicaron a construir y explorar varias geometrías métricas especiales y lograron grandes avances en el estudio del cuarto problema, pero el problema no se resolvió por completo.
5 El concepto de grupo de Lie no define la teoría topológica de grupos con el supuesto de diferenciabilidad de funciones de grupo. Después de un largo período de arduo trabajo, este problema fue finalmente resuelto por Gleason, Montqomery, Zipping y otros en. 1952. La respuesta es sí.
6 Tratamiento matemático de los axiomas físicos La física matemática ha logrado un gran éxito en campos como la mecánica cuántica y la termodinámica, pero en general, lo que significa para la física axiomática sigue siendo una cuestión que necesita ser discutida. La axiomatización de la teoría de la probabilidad fue establecida por A.H. Konmoropob et al.
7 Números irracionales y trascendencia de ciertos números Teoría de números trascendental 1934 A.O.temohm y Schneieder resolvieron de forma independiente la segunda mitad de este problema.
La Hipótesis de Riemann sigue siendo una conjetura en el caso general de la teoría de números con 8 números primos. El problema de Goldbach planteado en la octava cuestión aún no ha sido resuelto. Los matemáticos chinos han realizado una serie de trabajos destacados en este campo.
Prueba de la ley de reciprocidad más general en cualquier campo numérico. La teoría de campo ha sido resuelta por Takagi Sadako (1921) y E.Artin (1927).
10 Análisis discriminante indeterminado de la solubilidad de ecuaciones diofánticas En 1970, matemáticos soviéticos y estadounidenses demostraron que el algoritmo general esperado por Hilbert no existía.
Teoría cuadrática cuadrática con coeficientes algebraicos arbitrarios H. Hasse (1929) y C. L. Siegel (1936, 1951) obtuvieron importantes resultados sobre este problema.
Extiende el teorema de Kroneker sobre el campo de 12 Abel a cualquier campo de números racionales algebraicos. La teoría de la multiplicación compleja nunca ha sido resuelta.
13 Es imposible resolver una ecuación ordinaria de séptimo grado con una función de sólo dos variables. Las funciones continuas en la teoría de ecuaciones y la teoría de funciones reales fueron negadas por los matemáticos soviéticos en 1957. Si se requiere una función de análisis, el problema aún no se resuelve.
14 Demostrar que la teoría invariante algebraica finita de un determinado sistema de funciones completo da una solución negativa.
15 Los fundamentos estrictos del cálculo de conteo de Schubert Geometría algebraica Gracias a los esfuerzos de muchos matemáticos, es posible tratar los fundamentos del cálculo de Schubert de forma puramente algebraica, pero la racionalidad del cálculo de Schubert aún está por resolver. En cuanto a los fundamentos de la geometría algebraica, han sido establecidos por B.L. van der Walden (1938-40) y A. Weil (1950).
La primera mitad de los problemas teóricos cualitativos de 16 curvas y superficies topológicas algebraicas, topología de superficies y ecuaciones diferenciales ordinarias, se han obtenido resultados importantes en los últimos años.
La teoría de los campos de expresión cuadrados (campos reales) en forma definida positiva fue resuelta por Artin en 1926.
18 se resuelve parcialmente utilizando la teoría de grupos de cristales espaciales poliédricos congruentes.
19 Se ha resuelto en cierto sentido si la solución del problema de variación regular debe analizar la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas.
20 Problemas generales de valores en la frontera La investigación sobre problemas de valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas está en auge.
21 Existencia de ecuaciones diferenciales parciales lineales con un conjunto de valores dado La teoría a gran escala de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales ha sido resuelta por el propio Hilbert (1905) y H. Rohrl (Alemania, 1957) .
P.Koebe (Alemania, 1907) ha resuelto el caso de una superficie riemanniana de una sola hoja de una variable con una relación analítica.
23 Mayor desarrollo del cálculo de variaciones El propio Hilbert y muchos matemáticos han realizado importantes contribuciones al desarrollo del cálculo de variaciones.
El Congreso de Matemáticos Hace Cien Años y el Problema de Hilbert
Xiong Weimin
Próximamente se celebrará en Beijing el primer Congreso Internacional de Matemáticos del siglo XXI . ¿Qué aportará al desarrollo de las matemáticas en este siglo? ¿Puede influir en la dirección del desarrollo de las matemáticas como el primer Congreso Internacional de Matemáticos del siglo XX? Hace un siglo, el Congreso de Matemáticos pasó a la historia para siempre gracias a uno de sus informes: David Hilbert y sus problemas matemáticos.
En 1900, Hilbert propuso sus famosos 23 problemas matemáticos en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París. Durante el siguiente medio siglo, los rodearon muchas mentes matemáticas de talla mundial. Como dijo otro matemático muy famoso, H. Weyl, "Hilbert tocó su flauta mágica y enjambres de ratas lo siguieron y saltaron al río. No es de extrañar que su problema sea tan claro y comprensible. Algunos problemas son tan interesantes que muchos profanos están ansiosos". intentar resolver cualquiera de ellos o lograr un gran avance en cualquier problema se hará inmediatamente famoso en todo el mundo: Chen Jingrun de China resolvió el octavo problema de Hilbert (es decir, ha hecho grandes contribuciones al problema de los números primos). incluyendo la Hipótesis de Riemann, la Hipótesis de Goldbach, etc. ) atrajo la atención mundial. Cuando la gente resume el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, especialmente en la primera mitad del siglo XX, suele utilizar el problema de Hilbert como guía de navegación.
De hecho, la mayoría de estos problemas ya existen y Hilbert no los mencionó primero. Pero se situó en un nivel superior, volvió a plantear estas cuestiones de una manera más clara y sencilla y señaló la dirección para resolver muchas de ellas.
Hay muchos problemas en el campo de las matemáticas. ¿Cuáles son más importantes y fundamentales? Tomar esa decisión requiere una visión profunda. ¿Por qué Hilbert estaba tan enojado? Sr. Yuan Xiangdong (cotraducido con el Sr. Li Wenlin), historiador de las matemáticas, investigador del Instituto de Matemáticas y Ciencias de Sistemas de la Academia de Ciencias de China y traductor del libro "Hilbert en el Reino de las Matemáticas". - Alexander", cree que esto se debe a que Hilbert es Alexander en el Reino de las Matemáticas. Los matemáticos se pueden dividir en dos categorías, una es buena para resolver problemas matemáticos y la otra es buena para resumir teóricamente situaciones existentes. Ambas categorías se pueden subdividir en primera clase, segunda clase y tercera clase. Hilbert se destacó en ambos. Ha viajado a casi todas las fronteras de las matemáticas modernas, dejó su nombre destacado en muchas ramas diferentes de las matemáticas, conoce bien los antecedentes del desarrollo de las matemáticas y realizó investigaciones en profundidad sobre muchas de las cuestiones mencionadas. Él es el "Rey" de las matemáticas.
¿Por qué Hilbert resumió los problemas básicos de las matemáticas en la conferencia en lugar de predicar uno de sus resultados como la gente corriente? Yuan Xiangdong dijo a los periodistas que esto está relacionado con otro gran matemático, Henri Poincaré, quien presentó un informe sobre matemáticas aplicadas en el Primer Congreso Internacional de Matemáticos en 1897. Ambos eran estrellas gemelas en la comunidad matemática internacional de aquella época y ambos eran figuras destacadas. Por supuesto, también existe cierta competencia. Dado que Poincaré habló de sus puntos de vista generales sobre la relación entre física y matemáticas, Hilbert hizo cierta defensa de las matemáticas puras.
Poincaré es francés y Hilbert es alemán. Francia y Alemania tienen una disputa, por lo que la competencia entre ellos tiene el sabor de una competencia nacional. Si bien no es obvio para ellos que se tengan un gran respeto mutuo, sus alumnos y profesores a menudo lo ven así.
El maestro de Hilbert, Felix Klein, era una persona con una fuerte conciencia nacional. Concede gran importancia al desarrollo de las matemáticas alemanas y quiere convertir la comunidad matemática internacional en una elipse: antes era un círculo con París como centro, ahora quiere que su ciudad de Gotinga se convierta en el centro de las matemáticas mundiales; el mundo de las matemáticas tiene sentido. Dos elipses centradas.
Con la ayuda de Hilbert y su amigo cercano Hermann Minkowski, Klein logró su objetivo: en 1900, Hilbert había igualado al matemático más grande de Francia. Tan famoso como Poincaré, el propio Klein y Minkowski, que estaba a punto de venir a Gotinga. , también fueron matemáticos muy influyentes. De hecho, en Alemania se les conoce como los "Tres Profesores Invencibles".
Puedes imaginar su encanto con un ejemplo.
Un día, mientras enseñaba el famoso teorema de la topología, el teorema de los cuatro colores, Minkowski de repente tuvo una idea y dijo ante una sala llena de estudiantes: "Este teorema aún no ha sido demostrado, porque hasta ahora Solo unos pocos matemáticos de tercera categoría lo han estudiado. Ahora me corresponde a mí demostrarlo ". Luego tomó la tiza y demostró el teorema en el acto. Después de tomar esta clase, aún no había completado su certificado. Continuó testificando en clases posteriores y continuó durante varias semanas. Finalmente, en una mañana lluviosa, tan pronto como subió al podio, resonaron rayos en el cielo. "Dios también se sintió ofendido por mi arrogancia", dijo. "Mi demostración también está incompleta." Este teorema no fue demostrado por computadora hasta 1994. )
En 1912, Poincaré murió. El centro de las matemáticas del mundo se ha trasladado a Göttingen, y el mundo matemático parece haberse convertido de nuevo en un círculo, excepto que el centro del círculo se ha trasladado a Göttingen. En ese momento, la reputación de la Escuela de Göttingen estaba en su apogeo, y un eslogan popular entre los jóvenes matemáticos era "¡Haz las maletas y vete a Göttingen!"
Ha pasado un siglo, y Hilbert 23 Alrededor de la mitad Se resolvieron muchos de los problemas y se lograron avances significativos en la mayor parte de la mitad restante. Pero el propio Hilbert no resolvió ninguno de los problemas. Alguien le preguntó por qué no resolvía sus propios problemas, como el último teorema de Fermat.
Fermat escribió el teorema en los márgenes de una página. También afirmó que se le había ocurrido una demostración maravillosa, pero desafortunadamente los márgenes no eran lo suficientemente grandes como para escribirlo. La respuesta de Hilbert también fue humorística: "No quiero matar a esta gallina que sólo puede poner huevos de oro". Un empresario alemán creó una fundación para recompensar a la primera persona que resuelva la ley de Fermat. Hilbert era entonces presidente de la fundación y con los intereses del fondo invitaba cada año a destacados académicos a dar conferencias en Gotinga. Por eso, para él, la Ley de Fermat era una gallina que sólo ponía huevos de oro. La ley de Fermat no se resolvió hasta 1997. )
Antes de enumerar 23 problemas, Hilbert ya había sido reconocido como un líder en el campo de las matemáticas internacionales y había logrado muchos logros importantes en muchos campos de las matemáticas. Sus otras contribuciones, como sus pensamientos axiomáticos, pensamientos formalistas y el libro "Fundamentos de la Geometría", etc., tuvieron un profundo impacto en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX.
1 265438+Siete problemas matemáticos del siglo XX
Siete problemas matemáticos del siglo XXI
Recientemente, el 24 de mayo de 2000, Grammar, Massachusetts, EE.UU. El Instituto de Matemáticas Rai anunció un evento que suscitó la atención de los medios de comunicación en el Collège de France de París: ofrecer una recompensa de un millón de dólares por siete "problemas matemáticos de mil años". A continuación se muestra una breve introducción a estos siete problemas.
Uno de los "Problemas del Milenio": P (algoritmo polinómico) vs. NP (algoritmo no polinómico)
Un sábado por la noche, asististe a una gran fiesta. Es incómodo y te preguntas si hay alguien en este salón que ya conoces.
Su anfitrión le recomienda que se asegure de conocer a la Sra. Rose, que está sentada en un rincón cerca del plato de postre. No te lleva ni un segundo echar un vistazo y comprobar que tu maestro tiene razón. Pero si no existe tal pista, debes mirar alrededor de todo el salón y mirar a cada persona una por una para ver si hay alguien que reconozcas. Generar una solución a un problema suele llevar más tiempo que validar una solución determinada. Este es un ejemplo de este fenómeno común. De manera similar, si alguien te dice que los números 13, 717 y 421 se pueden escribir como el producto de dos números más pequeños, quizás no sepas si creerle o no, pero si te dice que se pueden factorizar hasta 3607 veces 3803, entonces puedes verificarlo fácilmente con una calculadora de bolsillo. Independientemente de si somos competentes en escribir un programa, determinar si una respuesta se puede verificar rápidamente con conocimiento interno o si lleva mucho tiempo resolverla sin tales sugerencias se considera el problema más importante en lógica e informática. Lo afirmó Stephen Cook en 1971.
"Problema del Milenio" Parte 2: La conjetura de Hodge
Los matemáticos del siglo XX encontraron un método eficaz para estudiar la forma de objetos complejos. La idea básica es preguntar hasta qué punto podemos dar forma a un objeto determinado pegando bloques de construcción geométricos simples de mayores dimensiones. Esta técnica se volvió tan útil que pudo generalizarse de muchas maneras diferentes; eventualmente condujo a algunas herramientas poderosas que permitieron a los matemáticos lograr grandes resultados en la clasificación de los diversos objetos que encontraron en su investigación. Desafortunadamente, en esta generalización, el punto de partida geométrico del programa se vuelve borroso. En cierto sentido hay que añadir algunas partes que no tienen ninguna explicación geométrica. La conjetura de Hodge afirma que para las llamadas variedades algebraicas proyectivas, un componente llamado cadena de Hodge es en realidad una combinación (lineal racional) de componentes geométricos llamados cadena algebraica.
"Misterio del Milenio" nº 3: La conjetura de Poincaré
Si estiramos una banda elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podemos moverla lentamente y encogerla hasta convertirla en una punta sin romperlo o dejar que se desprenda de la superficie. Por otro lado, si imaginamos la misma banda de goma estirada en la dirección apropiada sobre la banda de rodadura del neumático, no hay forma de encogerla hasta cierto punto sin dañar la banda de goma o la banda de rodadura del neumático. Decimos que la superficie de una manzana está "simplemente conectada", pero la banda de rodadura de un neumático no. Hace unos cien años, Poincaré sabía que una esfera bidimensional podía caracterizarse esencialmente por una conexión simple, y planteó el problema correspondiente de una esfera tridimensional (todos los puntos están a una unidad de distancia del origen en un espacio de cuatro dimensiones). El problema se volvió inmediatamente increíblemente difícil y los matemáticos han estado luchando con él desde entonces.
El cuarto "miles de millones, miles de millones, miles de millones de problemas": Hipótesis de Riemann
Algunos números tienen propiedades especiales y no pueden expresarse como el producto de dos números más pequeños. Por ejemplo 2, 3. , 5, 7, etc. Estos números se denominan números primos; desempeñan un papel importante en las matemáticas puras y sus aplicaciones. Entre todos los números naturales, esta distribución de números primos no sigue ninguna regularidad; sin embargo, el matemático alemán Riemann (1826~1866) observó que la frecuencia de los números primos está relacionada con el comportamiento de una función zeta de Riemann bien construida; z(s$) estrechamente relacionado. La famosa hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones significativas de la ecuación z(s)=0 se encuentran en una línea recta. Esto se ha demostrado en las primeras 1.500.000.000 de soluciones. Demostrar que funciona para todas las soluciones significativas revelará muchos misterios que rodean la distribución de los números primos.
"Cientos y cientos de misterios" No. 5: La existencia y brecha de calidad de Yang Mo Fang.
Las leyes de la física cuántica están establecidas para el mundo de las partículas elementales, del mismo modo que las leyes de Newton de la mecánica clásica están establecidas para el mundo macroscópico. Hace casi medio siglo, Chen Ning Yang y Mills descubrieron que la física cuántica revelaba relaciones sorprendentes entre la física de las partículas elementales y las matemáticas de los objetos geométricos. Las predicciones basadas en la ecuación de Young-Mills se han confirmado en los siguientes experimentos de alta energía realizados en laboratorios de todo el mundo: Brockhaven, Stanford, CERN y Tsukuba. Sin embargo, describen partículas pesadas y ecuaciones matemáticamente rigurosas sin soluciones conocidas. En particular, la hipótesis de la "brecha de masa", confirmada por la mayoría de los físicos y utilizada para explicar la invisibilidad de los quarks, nunca ha sido demostrada matemáticamente de forma satisfactoria. El progreso en este problema requiere la introducción de nuevos conceptos fundamentales en física y matemáticas.
El sexto "Problema del Milenio": la existencia y suavidad de la ecuación de Navier-Stokes
Las olas ondulantes seguían a nuestro barco mientras serpenteaba por el lago, y las turbulentas corrientes de aire lo seguían. nosotros Vuelo de aviones a reacción modernos. Los matemáticos y físicos están convencidos de que tanto las brisas como las turbulencias pueden explicarse y predecirse comprendiendo las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. Aunque estas ecuaciones fueron escritas en el siglo XIX, todavía sabemos muy poco sobre ellas. El desafío es lograr avances sustanciales en la teoría matemática para que podamos desentrañar los misterios ocultos en las ecuaciones de Navier-Stokes.
"Misterio del Milenio" Parte 7: Conjetura de Birch y Swinnerton-Dale.
Los matemáticos siempre están fascinados por la caracterización de todas las soluciones enteras de ecuaciones algebraicas como x^2y^2 = z^2. Euclides alguna vez dio una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complejas, se vuelve extremadamente difícil. De hecho, como yo. V. Matiyasevich señaló que el décimo problema de Hilbert no tiene solución, es decir, no existe un método general para determinar si dicho método tiene una solución entera. Cuando la solución es un punto de variedad abeliana, Bayhe y Swinorton-Dyer conjeturaron que el tamaño del grupo de puntos racional está relacionado con el comportamiento de la función zeta asociada z(s) cerca del punto s = 1. En particular, esta interesante conjetura sostiene que si z(1) es igual a 0, hay infinitos puntos racionales (soluciones; a la inversa, si z(1) no es igual a 0, sólo hay un número finito de tales puntos); .