2-3 preguntas interesantes de matemáticas

Una farmacia recibió diez frascos de un determinado medicamento. Cada frasco contiene 1.000 pastillas. El señor White, el farmacéutico, acababa de colocar los frascos en los estantes cuando llegaron uno tras otro los telegramas. El señor White leyó el telegrama a la señorita Black, la gerente de la farmacia.

Sr. White: "¡Urgente! Todos los frascos de pastillas deben inspeccionarse antes de poder venderlos. Debido a un error, un frasco de pastillas tiene un sobrepeso de 10 mg. Por favor, devuelva el frasco con el peso incorrecto inmediatamente. El señor White está muy enojado.

Sr. White: "Desafortunadamente, tuve que sacar una pastilla de cada frasco para pesarla. Qué tontería.

Justo cuando el señor White estaba a punto de actuar, la señorita Black lo detuvo. Miss Black: "Espera un momento, no es necesario pesarlo diez veces, basta con pesar una sola vez. ¿Cómo es posible?

La brillante idea de Miss Black es tomar 1 pastilla del primer frasco y 1 pastilla del primer frasco Tome 2 pastillas del segundo frasco, 3 pastillas del tercer frasco, y así sucesivamente hasta sacar 10 pastillas del décimo frasco. Ponga las 55 pastillas en la báscula y anote el peso total si pesa. 5510 mg si el peso total excede la especificación en 20 mg, inmediatamente comprende que solo una de las pastillas tiene sobrepeso y que fue tomada del primer frasco, y así sucesivamente. Sólo hace falta pesarlo una vez, ¿no?

Seis meses después, la farmacia recibió otros diez frascos de este medicamento. Llegó otro telegrama urgente, indicando que se había cometido un error peor. > Esta vez, no hubo comentarios sobre la cantidad de frascos de pastillas para el sobrepeso. El Sr. White estaba furioso: "¿Qué pasa, señorita Black? Nuestro último método no funcionó. La señorita Black no respondió de inmediato. Estaba pensando en la pregunta.

Miss Black: "Sí. Pero si cambiamos el método, aún podremos identificar medicamentos con pesos incorrectos solo pesándolos una vez. ¿Qué buena idea tiene Miss Black esta vez?

En el primer problema de pesaje de pastillas, sabemos que solo un frasco de pastillas tiene sobrepeso. Al tomar una cantidad diferente de pastillas de cada frasco (la forma más sencilla es usar una secuencia de conteo), podemos hacer la suma de un conjunto. de números. Un grupo de frascos de medicamentos tiene una correspondencia uno a uno.

Para resolver el segundo problema, debemos usar una secuencia numérica para etiquetar cada frasco de medicamento con un número determinado, y cada niño en esta secuencia. El conjunto debe tener una suma única. ¿Existe tal secuencia? La más simple es la siguiente secuencia doble: 1, 2, 4, 8, 16,

En este problema, la solución es alinear los frascos de pastillas y tomar 1 pastilla del primer frasco, 2 pastillas del segundo frasco y 2 pastillas del segundo frasco. Sacar 4 pastillas del tercer frasco. , y así sucesivamente. Supongamos que el peso total de las pastillas es de 270 mg. Dado que cada pastilla con el peso incorrecto tiene un sobrepeso de 10 mg, dividimos 270 entre 10 para obtener 27, el número de pastillas con sobrepeso. número: 11011. De derecha a izquierda en 11011, el "1" en el primer, segundo, cuarto y quinto dígito indica que los pesos son 1, 2, respectivamente, 8, 16. Entonces, los frascos de pastillas con los pesos incorrectos son. la primera, segunda, cuarta y quinta botella.

En el conjunto de potencias de 2, cada entero positivo está en una única combinación diferente. En vista de este hecho, la notación binaria es. extremadamente útil en informática y en una amplia gama de matemáticas aplicadas. También tiene innumerables aplicaciones en matemáticas interesantes. p>

Aquí tienes un sencillo truco de póquer que desconcertará a tus amigos. Puede que este truco no parezca tener nada que ver con el. problema del frasco de pastillas, pero se basa en el mismo principio binario

Pídele a alguien que mezcle una baraja de cartas y la ponga en tu bolsillo. Luego pídele a alguien que nombre un número entre 1 y 15. Luego, ponlo. Mete la mano en el bolsillo y saca un juego de cartas. La suma de los valores es exactamente igual al número que dijo.

El secreto es muy sencillo. Antes de hacer la magia, toma. Saque una carta de A, 2, 4 y 8 y colóquelas en su bolsillo. Es poco probable que se noten cuatro cartas. Después de guardar las cartas barajadas en su bolsillo, colóquelas en secreto detrás de las cuatro cartas que ya están en su bolsillo. Alguien te dice un número y lo calculas mentalmente. Expresado como suma de potencias de 2.

Si es 10, entonces deberías pensar: 8+2=10, luego mete la mano en tu bolso, saca las cartas 2 y 8 y muéstralas al público.

El cálculo de las cartas también se basa en el principio binario. Prepare seis cartas, marcadas A, B, C, D, E y F respectivamente. Luego complete algunos números en la tarjeta. La regla para determinar el conjunto de números en cada tarjeta es la siguiente: en la representación binaria de un número, si el primer dígito de la derecha es "1", entonces este número está en la tarjeta. A. . El conjunto de números en esta tarjeta comienza desde 1, y todos los números son impares en el rango del 1 al 63. La tarjeta B incluye todos los números en notación binaria del 1 al 63, siendo el segundo dígito de la derecha "1"; ;La tarjeta C incluye todos los números en notación binaria que van del 1 al 63 cuyo tercer dígito desde la derecha es "1" las tarjetas D, E, F, etc. Nota: La notación binaria del número 63 es "111111" y cada dígito es "1", por lo que este número está en cada tarjeta.

Estas seis cartas se pueden utilizar para determinar cualquier número del 1 al 63. Pídele a un espectador que piense en un número en este rango (como la edad de una persona) y luego pídele que te entregue todas las tarjetas que tengan ese número. Luego le dices el número que tiene en mente. El secreto es sumar el primer número de cada carta que sea una potencia de 2. Por ejemplo, si te entregan las tarjetas C y F, solo necesitas sumar el primer número 4 y 32 de arriba para saber que el número en la mente de la otra persona es 36.

A veces, para que el truco parezca más misterioso, los magos pintan deliberadamente cada carta de un color diferente. Sólo necesita recordar el poder de 2 que representa cada color. Por ejemplo, la tarjeta roja representa el 1, la tarjeta naranja representa el 2, la tarjeta amarilla representa el 4, la tarjeta verde representa el 8, la tarjeta azul representa el 16 y la tarjeta morada representa el 32 (según el orden de los colores del arcoíris). Entonces, el mago se paró en un extremo de la gran sala, le pidió a la persona que pensara en un número y puso la tarjeta con el número junto a él. Puede decir casualmente el número en el que la otra persona está pensando. el color de la tarjeta al lado de la persona.

Tres personas fueron a quedarse por 30 yuanes la noche. Cada una de las tres personas pagó 10 yuanes para cobrar los 30 yuanes y se los dio al jefe. Más tarde, el jefe dijo que el descuento de hoy era de sólo 25 yuanes. Entonces sacó 5 yuanes y le ordenó al camarero que se los devolviera. El camarero escondió en secreto 2 yuanes y luego distribuyó los 3 yuanes restantes a las tres personas, cada una de las cuales recibió 1 yuan. Yuan al principio, ahora se devuelve 1 yuan, que es 10-1 = 9. Cada persona solo gastó 9 yuanes, 3 personas pagaron 9 yuanes cada una, 3 X 9 = 27 yuanes + los 2 yuanes escondidos por el camarero = 29. yuanes, todavía ¿A dónde se fue un dólar?

Esta es una típica pregunta engañosa. El coste de una estancia de tres personas en un hotel es de 27 yuanes. Estos 27 yuanes incluyen 25 yuanes para el alojamiento (en manos del jefe) + 2 yuanes para los corruptos. camarero y el empleador 3 yuanes, una libra son 30 yuanes.

Tanto Xiao Ming como Xiao Qiang son estudiantes del maestro Zhang. El cumpleaños del maestro Zhang es M y N. Ambos saben que el cumpleaños del maestro Zhang es uno de los siguientes 10 días. El maestro Zhang le dijo a Xiao Ming el M. valor y Xiao Qiang el valor N. El profesor Zhang les preguntó si sabían cuándo era su cumpleaños.

4 de marzo, 5 de marzo, 8 de marzo

4 de junio, 7 de junio

1 de septiembre, 5 de septiembre

1 de diciembre, diciembre 2, 8 de diciembre

Xiao Ming dijo: Si no lo sé, Xiaoqiang definitivamente tampoco lo sabe

Xiao Qiang dijo: Originalmente yo tampoco lo sé, pero ahora Lo sé

Xiao Ming dijo: Oh, entonces yo también lo sé

Por favor, infiera la fecha del cumpleaños del maestro Zhang basándose en la conversación anterior

La respuesta es: 1 de septiembre.

Razonamiento relacionado:

1. Xiao Ming dijo: "Si yo no lo sé, Xiaoqiang definitivamente tampoco lo sabe".

El subtexto de esta oración es en realidad: "Debería haber adivinado correctamente. Si adivino mal, Xiaoqiang definitivamente no lo sabrá". Pero Xiao Ming todavía no está seguro de si acertó o no, y necesita que Xiao Qiang lo confirme. ¿Qué valor de M puede hacer que Xiao Ming diga esto? Obviamente, 6 y 12 no son aconsejables. Si M es 6 o 12, N puede ser 2 o 7; Xiaoqiang puede saber el cumpleaños del maestro Zhang basándose en el número 2 o 7. Entonces M sólo puede ser 3 o 9, y N sólo puede tomar los valores 1, 4, 5 y 8.

Si M es 3, N puede tomar tres valores y el resultado es "Si Xiao Ming no lo sabe, Xiao Qiang puede saber (2-4, 3-8), o puede que no lo sepa". (3-5)". En este caso, la declaración de Xiao Ming "Si no lo sé, Xiao Qiang definitivamente tampoco lo sabe" no es consistente con los hechos, y Xiao Ming no tiene la confianza suficiente para decirlo.

Si M es 9, entonces Xiao Ming sabe que N sólo puede ser 1 o 5. En este momento, la suposición de Xiao Ming es que N = 1, y Xiao Ming no está seguro de si N es 1. Si N no es 1 sino 5, entonces Xiao Ming dijo: "Si no lo sé, Xiao Qiang definitivamente no lo sabe". Tampoco." Saber". En este punto, Xiao Ming ya sabe que solo hay dos situaciones. Solo está esperando que Xiao Qiang confirme si N es 5.

2. Xiaoqiang dijo: "No lo sabía al principio, pero ahora lo sé".

Xiaoqiang dijo: "Al principio no lo sabía" y verificó que N en realidad no era 2 o 7. Al mismo tiempo, Xiaoqiang también sabía que "M no es 6 o 12, y M Sólo le quedan 3 y 9 para elegir." Si N es 5, Xiaoqiang debería decir "No lo sabía al principio, pero todavía no lo sé". Según la inferencia de la primera sección, N = 1, Xiaoqiang puede decir "No lo sabía al principio, pero ahora lo sé".

3. Xiao Ming dijo: "Entonces yo también lo sé".

Xiao Ming estaba esperando las palabras de Xiao Qiang. No importa cómo respondiera Xiao Qiang, Xiao Ming sabría lo correcto. respuesta. Si Xiaoqiang dice "todavía no lo sé", entonces Xiao Ming aún puede saber que "sólo N = 5 confundirá a Xiaoqiang", por lo que la respuesta es el 5 de septiembre, si Xiaoqiang dice "lo sé", entonces debe ser septiembre; 1 día.

De hecho, Xiao Ming lo entendió de principio a fin. Solo necesitaba que Xiao Qiang dijera algo para verificar su suposición. Para Xiao Ming, era una pregunta de opción múltiple entre A o B. Por lo tanto, de acuerdo con las pistas del desarrollo de la historia de la pregunta en sí, la tercera oración de Xiao Ming se puede omitir, pero muchas personas usan esta condición al deducir; es un poco como resolver problemas matemáticos.

Un día, un cliente fue a la juguetería de Lao Zhang y se encaprichó con una rana de juguete. El precio de venta al público era de 23 yuanes (el costo era de 16 yuanes), así que sacó un billete de 100 yuanes y. Se lo dio a Lao Zhang, porque Lao Zhang no tenía cambio, fue al vecino a cambiar 100 yuanes en cambio, y cuando regresó, le dio 77 yuanes en cambio al cliente.

Más tarde, el vecino dijo que el billete de 100 yuanes de Lao Zhang era falso, por lo que Lao Zhang tuvo que devolver otros 100 yuanes al vecino.

¿Cuánto dinero perdió Lao Zhang en esta transacción?

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Hay 12 bolas, una de las cuales está rota, ya sea ligeramente o fuertemente. Ahora que tenemos una balanza, ¿cómo podemos encontrar la bola rota pesándola solo tres veces?

Numerar las doce bolas del 1 al 12.

Por primera vez, coloca los números del 1 al 4 a la izquierda y los números del 5 al 8 a la derecha.

1. Si la bola derecha es pesada, la bola mala es la número 1-8.

Por segunda vez, elimina los números del 2 al 4, mueve los números del 6 al 8 de derecha a izquierda y coloca los números del 9 al 11

a la derecha. Es decir, poner 1,6,7,8 a la izquierda y 5,9,10,11 a la derecha.

1. Si la derecha es pesada, la bola mala está en los números 1 y 5 que no han sido tocados. Si es la nº1,

es más ligera que una pelota estándar; si es la nº5, es más pesada que una pelota estándar.

Por tercera vez, coloca el nº1 a la izquierda y el nº2 a la derecha.

1 Si la pelota derecha es pesada, la No. 1 es una pelota mala y es más liviana que la pelota estándar.

2 Si está equilibrada, la No. 5 es una. pelota mala y más pesada que la pelota estándar;

3 Esta vez es imposible centrarse en la izquierda.

2. Si está equilibrada, la bola mala estará en el número 2-4 eliminado y será más ligera que la bola estándar.

Por tercera vez, coloca el nº 2 a la izquierda y el nº 3 a la derecha.

1 Si el lado derecho es pesado, entonces la pelota número 2 es mala y es más liviana que la pelota estándar.

2 si está equilibrada, la pelota número 4 lo es. una bola mala y es más liviana que la bola estándar;

3 si la bola se deja pesada, la número 3 es una bola mala y es más liviana que la bola estándar.

3. Si la bola izquierda es pesada, la bola mala será la número 6-8 de la izquierda y será más pesada que la bola estándar.

Por tercera vez, coloca el nº 6 a la izquierda y el nº 7 a la derecha.

1 Si es pesada en el lado derecho, la No. 7 es una pelota mala y es más pesada que una pelota estándar.

2 Si está equilibrada, la No. 8. es una pelota mala y es más pesada que una pelota estándar;

3 Si la pelota se deja pesada, la No. 6 es una pelota mala y es más pesada que la pelota estándar.

2. Si la balanza está equilibrada, la bola mala está entre los números 9-12.

Por segunda vez, coloca los números 1-3 a la izquierda y los números 9-11 a la derecha.

1. Si la bola derecha es pesada, la bola mala está en el nº 9-11 y la bola mala es más pesada.

Por tercera vez, coloca el número 9 a la izquierda y el número 10 a la derecha.

1. Si es pesada en el lado derecho, la No. 10 es una pelota mala y es más pesada que una pelota estándar.

2 Si está equilibrada, la No. 11. es una pelota mala y es más pesada que una pelota estándar

3 Si la pelota se deja pesada, la No. 9 es una pelota mala y más pesada que la pelota estándar.

2. Si está equilibrada, la bola mala es la número 12.

Por tercera vez, coloca el número 1 a la izquierda y el número 12 a la derecha.

1. Si la bola derecha es más pesada, la número 12 es una bola mala y más pesada que la bola estándar.

2 Esta vez es imposible; >

3. Si la pelota es izquierda En el peor de los casos, la No. 12 es una pelota mala y más liviana que una pelota estándar.

3. Si la bola izquierda es pesada, la bola mala está en el nº 9-11 y la bola mala es más ligera.

Por tercera vez, coloca el número 9 a la izquierda y el número 10 a la derecha.

1. Si el lado derecho es pesado, la No. 9 es una pelota mala y es más liviana que una pelota estándar.

2 Si está equilibrada, la No. 11 es una. bola mala y es más liviana que una bola estándar;

3 si la bola se deja pesada, la No. 10 es una bola mala y es más liviana que una bola estándar.

3. Si la bola izquierda es pesada, la bola mala es la número 1-8.

Por segunda vez, elimina los números del 2 al 4, mueve los números del 6 al 8 de derecha a izquierda y coloca los números del 9 al 11

a la derecha. Es decir, poner 1,6,7,8 a la izquierda y 5,9,10,11 a la derecha.

1. Si la bola derecha es pesada, la bola mala será la número 6-8 de la izquierda y será más ligera que la bola estándar.

Por tercera vez, coloca el nº 6 a la izquierda y el nº 7 a la derecha.

1 Si el lado derecho es pesado, la No. 6 es una pelota mala y es más liviana que una pelota estándar.

2 Si está equilibrada, la No. 8 es una. bola mala y es más liviana que una bola estándar;

3 si el lado izquierdo es pesado, la No. 7 es una bola mala y es más liviana que la bola estándar.

2. Si está equilibrada, la bola mala está en el número 2-4 eliminado y es más pesada que la bola estándar.

Por tercera vez, coloca el nº 2 a la izquierda y el nº 3 a la derecha.

1 Si la pelota derecha es pesada, la No. 3 es una pelota mala y es más pesada que la pelota estándar.

2 Si está equilibrada, la No. 4 es una. bola mala y es más pesada que la bola estándar;

3 si la bola se deja pesada, la número 2 es una bola mala y es más pesada que la bola estándar.

3. Si la bola izquierda es pesada, la bola mala está en los números 1 y 5 que no han sido tocados. Si es la nº1,

es más pesada que una pelota estándar; si es la nº5, es más ligera que una pelota estándar.

Por tercera vez, coloca el nº1 a la izquierda y el nº2 a la derecha.

1. Esta vez es imposible acertar en el lado derecho.

2. Si está equilibrada, la No. 5 es una mala pelota y es más liviana que una pelota estándar.

3 Si es pesada hacia la izquierda, entonces la No. 1 es. una pelota mala y más pesada que una pelota estándar;

Es bastante problemática. De hecho, hay muchas situaciones que son simétricas. Por ejemplo, al pesar por primera vez, el lado derecho es pesado y el lado derecho es liviano. Solo necesita considerar uno y el otro se puede implementar en consecuencia. Escribí todo el proceso sólo para asustar a todos.

Después de un poco de experimentación, sabrás que es imposible garantizar que encontrarás una bola mala pesándola sólo dos veces. Si se dan trece bolas, la solución anterior es básicamente válida, pero hay un pequeño cambio. En este caso, cuando la primera y la segunda vez están equilibradas, aún es posible equilibrar la tercera vez (ese es el paso 2.2.2 anterior). ), entonces podemos estar seguros de que la pelota mala es la número 13, pero no tenemos forma de saber si es más liviana o más pesada que una pelota estándar. Si se dan catorce bolas, veremos que es imposible garantizar que se encontrará la bola mala pesándola sólo tres veces.

Una pregunta natural es: para un número natural dado N, ¿cómo solucionamos el problema del pesaje de bolas con N bolas?

En la siguiente discusión, dado cualquier número natural N, tenemos que resolver los siguientes problemas:

⑴ Encuentre el número mínimo de veces requerido para el problema de N bolas esféricas y demuestre lo anterior El número mínimo de veces dado es de hecho el mínimo

⑵Proporcione el método específico para pesar la pelota el número mínimo de veces

⑶Si solo necesita encontrar la pelota mala; sin saber el número de la bola defectuosa, en serio, resuelva los dos problemas anteriores para el problema de pesaje de N-esferas.

Hay otro problema que no nos interesa tanto, pero es un subproducto:

(4) Si además de las N bolas dadas, también se entrega una bola estándar para resolver los tres problemas anteriores.