Análisis de punto de cambio único de pendiente

Instituto de Mecánica, Academia China de Ciencias, Beijing, 100080)

Las catástrofes son muy comunes en los campos natural, social y económico. Si la secuencia de salida de un sistema cambia repentinamente en un momento desconocido, ese momento se denomina punto de cambio. El propósito del análisis estadístico de puntos de cambio es determinar la existencia de puntos de cambio y determinar su ubicación y número. El análisis de puntos de cambio existente incluye análisis de puntos de cambio medios, análisis de puntos de cambio de probabilidad y análisis de puntos de cambio de parámetros del modelo. Este artículo propone un nuevo concepto de punto de cambio de pendiente, que se refiere al punto donde la aceleración (desaceleración) de la pendiente de la curva cambia más. Combinando varios tipos diferentes de ejemplos, este artículo también propone utilizar el método de diferencias de segundo orden de coeficientes de regresión para encontrar un único punto de cambio de pendiente. Puede encontrar los "puntos de inflexión" de curvas con monotonicidad y concavidad. Los ejemplos muestran que este método es simple, intuitivo y eficaz.

Análisis de puntos de cambio; pendiente; punto de cambio; coeficiente de regresión

1 Introducción

En los campos natural, social y económico, las mutaciones son muy comunes e importantes. Estudiar si ocurren mutaciones y cuándo puede ayudar a comprender las reglas de evolución de eventos o procesos, especialmente las reglas de ocurrencia y desarrollo de los desastres, proporcionando así una base para la predicción, prevención y gestión de desastres.

La secuencia de salida del sistema cambia repentinamente en un momento desconocido, lo que se denomina punto de cambio. El propósito del análisis estadístico de puntos de cambio es determinar y probar la existencia, ubicación y número de puntos de cambio, y estimar el salto de los puntos de cambio. El análisis estadístico de puntos de cambio es una herramienta poderosa para analizar cuantitativamente diversos datos de monitoreo y estudiar las leyes de diversos peligros geológicos.

El análisis de puntos de cambio se divide en análisis de puntos de cambio medios, análisis de puntos de cambio de probabilidad y análisis de puntos de cambio de parámetros del modelo [1]. Cuando la media (o distribución de probabilidad, o parámetros del modelo) de los datos cambia significativamente antes y después de un momento determinado, ese momento se denomina punto de cambio de la media (o probabilidad, o parámetro del modelo). Sin embargo, en los problemas geológicos, a menudo hay una curva que aumenta gradualmente y se acelera repentinamente después de un cierto momento, a veces la curva comienza a acelerarse, luego se desacelera repentinamente después de cierto punto y se nivela gradualmente; Otras curvas comienzan con un lento descenso y, en cierto punto, cambian repentinamente a un rápido descenso diagonal. Debido a que el "punto de inflexión" de esta mutación es un punto característico importante, que a menudo está asociado con el significado físico específico de un problema específico, es importante determinar con precisión el punto de cambio. Este "punto de inflexión" se denomina en este artículo el punto donde cambia la pendiente de la curva.

Este artículo propone cómo encontrar el punto divisorio entre la segunda y tercera etapa basándose en la curva de fluencia de la superficie de la roca y el suelo, y cómo encontrar la función de reducción de la varianza en la distancia de correlación δ (o θ ) del índice del suelo El "punto de inflexión", cómo encontrar la presión de consolidación temprana P en función de la curva e-lgP. Analizar y discutir los puntos de cambio de pendiente.

2 Principios básicos para encontrar un único punto de cambio de pendiente

Primero, se estudia el problema de punto de cambio de pendiente más simple. Suponiendo que una curva tiene sólo un punto de cambio de pendiente, el problema es cómo encontrar un método para determinar este punto de cambio de manera simple, cuantitativa y precisa.

En términos generales, los datos de medición son en su mayoría pares de puntos de datos discretos. Cuando el intervalo de tiempo de medición es largo, es difícil formar una curva continua que pueda reflejar verdaderamente los cambios del proceso. Por lo tanto, la mayoría de las secuencias de observación no se pueden expresar fácilmente mediante ecuaciones de curvas, por lo que la pendiente de cada punto no se puede obtener mediante cálculo diferencial y la pendiente de la curva en ambos lados de un determinado punto de tiempo (o punto de distancia) dentro de un corto intervalo de tiempo. (o distancia) La pendiente solo se puede aproximar encontrando los coeficientes de regresión lineal de algunos puntos de datos consecutivos en ambos lados de un determinado punto. Esto se debe a que en intervalos de tiempo (o distancias) cortos la curva es aproximadamente recta. La diferencia en las pendientes de las curvas a ambos lados de un punto puede reflejar la magnitud del cambio de pendiente a ambos lados del punto, lo que se puede decir que es el uso de diferencias de primer orden. Pero el "punto de inflexión" que buscamos aquí no es el punto donde la pendiente cambia más, sino el punto donde la aceleración (desaceleración) local de la pendiente cambia más. Bajo la condición de que el tiempo de monitoreo sea un intervalo de tiempo igual (o intervalo igual), la diferencia de segundo orden en la amplitud del cambio de pendiente refleja la aceleración (desaceleración) del cambio de pendiente. Al encontrar el valor máximo local de la aceleración (desaceleración) del cambio de pendiente, se puede encontrar el intervalo unitario donde se ubica el punto de cambio de pendiente. Luego, se puede obtener cuantitativamente una estimación del punto de cambio de pendiente utilizando un método similar a encontrar patrones en datos agrupados.

3 Métodos y pasos para encontrar un punto de cambio de pendiente único

Los métodos y pasos para encontrar un punto de cambio de pendiente único se presentan a través de tres tipos diferentes de ejemplos.

Ejemplo 1. Los datos de monitoreo de desplazamiento acumulado del deslizamiento de tierra de Asakushi [21] en la línea ferroviaria de Tohoku en Japón se muestran en la Tabla 1 (datos medidos en la Figura 1).

Tabla 1 Desplazamiento acumulativo del deslizamiento de tierra de Asanuma en el ferrocarril de Tohoku en Japón

Figura 1 Resultados del análisis de puntos de cambio de la curva de desplazamiento acumulado en el tiempo del deslizamiento de tierra de Asanuma en el ferrocarril de Tohoku en Japón.

Esta es una curva de desplazamiento-tiempo medida desde la superficie del deslizamiento, que obviamente incluye datos de la segunda y tercera etapa de fluencia. El segmento de la curva en la segunda etapa es aproximadamente una línea recta, lo que refleja las características del avance a velocidad constante, mientras que la tercera etapa es la etapa de avance acelerado, y la curva está obviamente acelerada (Figura 1). Es decir, en este ejemplo sólo se conoce un punto de cambio de pendiente. Siempre que se pueda encontrar el punto donde el cambio de aceleración local de la pendiente sea mayor, significa que se ha encontrado el punto de cambio de pendiente. Se introduce paso a paso el método de diferencia de segundo orden de los coeficientes de regresión para encontrar este punto de cambio.

(1) Seleccionar puntos de exploración: dado que los datos de monitoreo están en intervalos de tiempo iguales, el punto medio de dos puntos de tiempo de observación adyacentes se selecciona como el punto de exploración para formar una secuencia de puntos de exploración. Por ejemplo, la secuencia de puntos de exploración en 1 es Ti = 21,25, 21,75, 22,25, 22,75, 23,25,…, 26,75.

(2) Construya una ventana deslizante con cada punto de exploración como centro, calculando así la pendiente de la curva alrededor del punto de exploración (es decir, el coeficiente de regresión lineal de varios puntos de datos antes y después de la exploración). punto). Debido a que el número n de puntos de datos que participan en la regresión afectará el valor del coeficiente de regresión, se toma el mismo número (n) de puntos de datos antes y después del punto de exploración para formar una ventana deslizante, de modo que las pendientes antes y después pueden compararse en las mismas condiciones. Y dado que la curva sólo se aproxima a una línea recta en un corto tiempo (o en una distancia corta), n no puede ser demasiado grande. Aquí, se toman n = 2, 3 y 4 respectivamente para formar tres conjuntos de ventanas correderas.

(3) En la ventana deslizante con ti, realice una regresión lineal en los N puntos de datos antes (o a la izquierda de) el punto de exploración ti y obtenga el coeficiente de regresión, registrado como (Ti); de manera similar, para los N puntos de datos detrás (o a la derecha) del punto de exploración ti se someten a regresión lineal para obtener el coeficiente de regresión, que se registra como (ti). Obviamente, cuando n = 2, el coeficiente de regresión calculado refleja más un comportamiento de pendiente local que un comportamiento de pendiente general suficiente, y debido a que hay muy pocos puntos (solo dos puntos se pueden conectar con una línea recta), es aleatorio, no estadísticamente significativo. suficiente. Por el contrario, el coeficiente de regresión calculado cuando n=4 refleja mejor las características generales de la pendiente, pero refleja mal las características de la pendiente local y tiene una significación estadística más fuerte y menos aleatoriedad debido al mayor número de puntos en algún punto intermedio; Entonces deberíamos prestar más atención a los resultados cuando n = 4. Por lo tanto, los valores calculados cuando n = 2, 3 y 4 se ponderan y promedian con un peso de n2. Por lo tanto, cuando existen todos los valores de un determinado ti, el promedio ponderado es:

Recopilación de métodos técnicos de investigación y seguimiento de peligros geológicos

(4) Para cada punto de exploración ti, Calcular la diferencia y registrarla como? S(ti), es decir

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Se puede decir que S(ti) es el incremento (o cantidad de cambio) de la pendiente de la curva antes y después del punto ti también puede entenderse como la diferencia de primer orden en la pendiente de la curva antes y después del punto ti, y su tamaño refleja el aumento de la pendiente en el punto ti.

(5) ¿Verdad? Secuencia S (ti) y luego calcule la diferencia de segundo orden, es decir:

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El tamaño de este valor diferencial de segundo orden refleja el intervalo (ti-1, ti) La magnitud del cambio en la aceleración de la pendiente de la curva. △2S(ti) también forma una secuencia.

(6) Encuentre el valor máximo (mayor que los dos primeros valores y los dos últimos valores) en la secuencia 2S (ti) en el orden de ti de pequeño a grande. Supongamos que el intervalo correspondiente es (ti-1, ti), que debe ser el intervalo donde se ubica el punto de cambio de pendiente. Luego use los dos intervalos adyacentes (ti-2, ti-1) y (ti, ti 1) y sus valores correspondientes Δ2S (ti-1) para agrupar los datos.

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Los datos del Ejemplo 1 se calculan utilizando el método de diferencia de segundo orden de coeficientes de regresión. Los resultados intermedios y finales del cálculo son. se muestra en la Figura 2.

Como se puede observar en la Figura 2, la diferencia máxima de segundo orden es 2S(ti)=23.63, su intervalo correspondiente es (23.25, 23.75) y sus dos intervalos adyacentes son (22.75, 23.25) y (23.75, 24.25). Sus correspondientes valores diferenciales de segundo orden son △2s (Ti-1) = 18,80, △2s (Ti 1) = 11,47.

Según la fórmula (4), se puede calcular de la siguiente manera:

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Intuitivamente, t* es adecuado como el cambio de pendiente del punto de la curva, que se puede utilizar como punto divisorio entre la segunda y tercera etapa de la curva de fluencia. Encontrar este punto de corte tiene una importancia práctica importante: puede recordar a los observadores cuándo comenzar un monitoreo intensivo de la dinámica de los deslizamientos de tierra y también permitir a los ingenieros de campo hacer predicciones más precisas del tiempo de ocurrencia de los deslizamientos utilizando solo los puntos de datos de la tercera fase. Por lo tanto, la determinación del punto de cambio de pendiente ayuda a resolver el problema de dividir la segunda y tercera etapa de la curva de fluencia del deslizamiento. Además, puede resultar útil buscar "puntos de inflexión" en los que la curva pasa de un descenso rápido a una desaceleración repentina, así como en los que la curva pasa de un descenso suave a un descenso rápido a lo largo de la diagonal.

Figura 2 Análisis del punto de cambio de la curva de desplazamiento acumulado en el tiempo del deslizamiento de tierra de Asanuma en el ferrocarril Tohoku en Japón

4 Busque el "punto de inflexión" desde donde cae la curva. rápido declive hasta repentinamente se desacelera y se estabiliza.

Existen muchos problemas de este tipo en geología. Pero en el pasado, un "punto de inflexión" se determinaba artificialmente sólo mediante la observación a simple vista, sin métodos objetivos de análisis cuantitativo. La solución a este problema no sólo contribuye a la investigación teórica, sino que también tiene importantes beneficios económicos prácticos, como la determinación de un espaciamiento de muestreo y una densidad de la red de exploración económicos y razonables. Esto se conoce comúnmente como el problema de encontrar el "punto de equilibrio". La aplicación del análisis del punto de cambio de pendiente se ilustrará a continuación mediante un ejemplo de cómo encontrar la distancia de correlación del suelo.

Ejemplo 2. Se sabe que la distancia de retraso t y la función de reducción de la varianza г 2 (t) calculadas a partir de los datos de prueba de cono estático de suelos en Vancouver y Harney, Canadá, se muestran en la Tabla 2 y la Figura 3.

Tabla 2 Tabla de datos t y γ 2 (t) de Haney

La curva del ejemplo 1 comienza a ascender a una velocidad constante y luego acelera después del punto de pendiente. La curva del ejemplo 2 comienza a disminuir rápidamente, luego se desacelera repentinamente cuando alcanza el punto de cambio y se desacelera gradualmente, tendiendo incluso a una asíntota horizontal. Lo que hay que buscar aquí es el "punto de inflexión" donde hay una desaceleración y un declive repentinos. Aunque la curva del Ejemplo 2 es muy diferente de la curva del Ejemplo 1, ambas son curvas cóncavas. Por lo tanto, a medida que ti (o Ti) aumenta, la pendiente de la curva siempre aumenta. Por lo tanto, la diferencia de primer orden todavía usa la fórmula: Pero al calcular la diferencia de segundo orden 2S (Ti), es diferente del Ejemplo 1. En el Ejemplo 1, la secuencia S(ti) generalmente aumenta a medida que aumenta ti, entonces 2S(Ti)= S(Ti)-S(Ti-1); S(Ti) generalmente disminuye a medida que Ti aumenta, por lo que la diferencia de segundo orden debe calcularse a la inversa:

Figura 3 Gráfico γ 2 (t) de la función de reducción de la varianza de Haney

Procedimientos de Métodos tecnológicos de investigación y monitoreo de peligros geológicos

Otros métodos y fórmulas para determinar t * son similares a la ecuación (4).

Los resultados del cálculo de los datos del Ejemplo 2 se muestran en la Figura 4. Como puede verse en la Figura 4, la diferencia de segundo orden del valor máximo es 2S (Ti) = 0,1822 y su intervalo correspondiente es (1.1.1.3). Sus dos intervalos adyacentes son (0,9, 1,1) y (1,1, 1,3), y su correspondiente diferencia de segundo orden es 2s (Ti-1) = 0,10.

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Este es el valor estimado de t en el "punto de inflexión".

Luego, de acuerdo con los datos de t y γ 2 (t) en la Tabla 2, γ 2 (t *) se obtiene mediante interpolación lineal:

Figura 4 Análisis del punto de cambio de la función de reducción de diferencia de prescripción de Haney γ 2 (t) Resultados

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∴γ2(t*)=0.3378-0.054×0.7195=0.2989

Por lo tanto, el suelo en Haney La distancia relativa es δгt *г2(t *)= 1.1439×0.2989 = 0.3419(m). Esto está muy cerca del resultado calculado en el artículo original, δ = 0,324 m, con un error relativo de sólo 5,5. En el texto original, T*=1,2. Si se mide utilizando los datos de este artículo, г 2 (1,2) = 0,2838, entonces δ≈1,2×0,2838 = 0,34056(m), que se acerca más a los resultados de este artículo, y el error relativo es solo 0. En el texto original, cuando T*=1.2, γ 2 (t *) = 0.27, entonces se calcula δ≈1.2×0.27=0.324(m). Se puede ver que el error se debe principalmente a los datos medidos en este artículo y no tiene nada que ver con el método en sí. Puede verse que el método del punto de cambio de pendiente proporciona otro método eficaz para calcular la distancia de correlación.

5 Busque el "punto de inflexión" donde la curva desciende lenta y suavemente y de repente gira hacia un descenso rápido a lo largo de la diagonal.

El cálculo de la presión de consolidación temprana Pc basándose en la curva experimental de consolidación de alta presión e-lgP en mecánica de suelos es un representante típico de este tipo de problema.

Ejemplo 3. Los datos experimentales [4] del logaritmo de la presión vertical P y la relación de separación se muestran en la Tabla 3 y la Figura 5. Primero, los datos de prueba son equidistantes mediante interpolación lineal. Los resultados del análisis de puntos de cambio se muestran en la Figura 6.

Tabla 3 Tabla de datos de e-lgP

Figura 5 Curva e-lgP de prueba de consolidación de alta presión

Figura 6 Cambios en la curva e-lgP de alta presión -Resultados del análisis de puntos de prueba de consolidación de presión

Debido a que la curva es cóncava, la suma calculada para cada Li es mayor que este valor, por lo que se puede inferir de la fórmula (2):

Investigación de peligros geológicos y recopilación de métodos tecnológicos de monitoreo

¿Por cálculo? La secuencia S(Li) es básicamente creciente, por lo que la fórmula para calcular △2S(Li) aún puede seguir la fórmula (3), es decir:

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Como se puede ver en la última columna de la Figura 6, el máximo △2S (Li) es 0,0413 y el intervalo correspondiente es (2,45, 2,55). Los dos intervalos adyacentes son (2,35, 2,45) y (2,55, 2,65), y los valores diferenciales de segundo orden correspondientes son △ 2s (Li-1) = 0,0361 y △ 2s (Li 1) = 0,065438.

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Es decir, el valor estimado del punto de cambio de pendiente es (lgP)*=2,4658. Por lo tanto, el valor estimado de la presión de preconsolidación Pc es = 102,4658 = 292,28 kPa, y el resultado calculado de la Pc original es 313,91 kPa, que está muy cerca, y el error relativo es solo 6,89.

6 Conclusión

En la investigación científica sobre temas naturales, sociales, económicos y otros, a menudo nos encontramos con el problema de encontrar el "punto de inflexión" de una curva. Cuando la curva aumenta (o disminuye) monótonamente y es cóncava (o convexa), significa que la curva tiene solo un punto de cambio de pendiente, que puede determinarse mediante el método de diferencias de segundo orden de los coeficientes de regresión.

Cuando la curva no es monótona y los cambios cóncavos y convexos, la curva se puede dividir en segmentos de curva monótonos con un solo cóncavo y convexo, y luego los puntos de cambio de pendiente se pueden calcular segmentariamente.

El punto de cambio de pendiente obtenido mediante el método de diferencias de segundo orden de coeficientes de regresión es el punto donde la aceleración de la pendiente es mayor, no el punto donde el cambio de pendiente es mayor. Este punto suele ser el "punto de inflexión" donde la curva cambia a lo largo de una línea recta aproximada y luego acelera repentinamente para cambiar a lo largo de otra línea recta o curva. Generalmente ocurre antes del punto con el mayor cambio de pendiente (o el punto con el mayor). curvatura).

La aplicación del método de diferencias de segundo orden de coeficientes de regresión requiere secuencias equiespaciadas relativamente cercanas, es decir, que haya suficientes pares de puntos de datos, preferiblemente más de 20 o 30 pares, y al menos 13 pares. Esto se debe a que existen efectos de borde cuando se utiliza una ventana deslizante y los coeficientes de regresión calculados no representan bien la pendiente de la curva. Si los datos originales no son equidistantes, se puede utilizar la interpolación lineal para transformarlos en datos más densos y equidistantes.

La fórmula para calcular el punto de cambio de pendiente es ligeramente diferente cuando la curva aumenta o disminuye monótonamente y es cóncava o convexa: ① Cuando la curva aumenta o disminuye monótonamente, use las fórmulas (2) y (3) , como 1; (2 ) Cuando sea monótonamente decreciente y cóncavo, use las fórmulas (2) y (5), como en el Ejemplo 2 (3) Cuando sea monótonamente decreciente y convexo, use las fórmulas (6) y (3), como en; Ejemplo 3; ④ Para una convexidad que aumenta monótonamente, utilice las fórmulas (6) y (5).

Referencia

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