Método de solución de las ecuaciones de Saint-Venant

Matemáticamente, las ecuaciones de Saint-Venant pertenecen a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas cuasi lineales de primer orden. Al resolver el sistema de ecuaciones y hacer que cumplan con las condiciones iniciales y de contorno dadas, podemos obtener los cambios en el caudal y la profundidad del agua (u otras variables dependientes) del flujo de agua inestable con el proceso y el tiempo, es decir , v=v(s,t), h=h(s,t). La condición inicial es el estado del flujo de agua en un momento inicial determinado, como la profundidad del agua y la velocidad del flujo de cada sección a lo largo del canal. La condición de contorno es el estado de flujo límite calculado del cuerpo de agua, como el proceso de nivel de agua, el proceso de flujo o la relación de flujo de nivel de agua de las secciones límite aguas arriba y aguas abajo de una determinada sección del río. El número y la forma de las condiciones iniciales y de contorno dadas deben ser apropiados y consistentes con la naturaleza del flujo, para asegurar la unicidad de la solución de la ecuación y asegurar que la solución de la ecuación no cambie significativamente debido a pequeños cambios en los datos. En este punto, se dice que el problema está bien planteado y que la solución es significativa.

Salvo circunstancias especiales, es difícil obtener soluciones analíticas de las ecuaciones de Saint-Venant utilizando métodos analíticos. Generalmente, las soluciones aproximadas a casos individuales sólo pueden obtenerse mediante cálculos numéricos. Los métodos de cálculo numérico comúnmente utilizados incluyen principalmente las siguientes cinco categorías: ① Método de diferencias finitas. Divida la masa de agua calculada en una cuadrícula determinada y utilice algún tipo de ecuación en diferencias para aproximar las ecuaciones diferenciales de Saint-Venant en cada punto de la cuadrícula. Las condiciones de contorno también se escriben en forma diferencial. Luego, la ecuación en diferencias se resuelve tiempo por tiempo para obtener la profundidad del agua y la velocidad del flujo en cada punto de la cuadrícula (como una sección). Dependiendo del método de cálculo de diferencias, los elementos hidráulicos de cada punto de la grilla se pueden calcular uno por uno para cada ciclo de cálculo, o los elementos hidráulicos de cada punto de la grilla se deben resolver simultáneamente. El primero se denomina método de diferencia explícita y el segundo, método de diferencia implícita. El método transitorio propuesto por Klec es un método de diferencia explícita simplificado. ②Método característico. Las ecuaciones de Saint-Venant se basan en las llamadas "características" que transforman ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo llamadas ecuaciones características. En el caso de un espacio unidimensional, la representación geométrica de una "característica" se denomina línea característica, mientras que en un espacio bidimensional es una superficie característica. Las ondas y perturbaciones en flujos inestables se propagan a lo largo de "características". La solución numérica requerida se puede obtener resolviendo simultáneamente la ecuación que representa la posición geométrica de la "característica" y la ecuación característica utilizando el método de diferencias finitas. ③Método de elementos finitos. El cuerpo de agua se divide en unidades geométricas simples (como segmentos de línea recta unidimensionales, rectángulos bidimensionales, triángulos de lados rectos o curvos, etc.), y en cada unidad, se utiliza una función de interpolación para aproximar el solución mediante procesamiento matemático simple. Las ecuaciones de Saint-Venant se aplican a cada unidad y se convierten a forma integral, y los coeficientes indeterminados en la función de interpolación se pueden determinar de acuerdo con algún criterio (como el residuo mínimo de aproximación). El método de elementos finitos semidiscretos de Galerkin es un método de uso común. ④Método de elementos finitos. Los métodos comunes de cálculo de elementos finitos incluyen el método directo, el método variacional, el método residual ponderado y el método de balance de energía. ⑤Método de análisis finito. Linealice la ecuación diferencial y obtenga la solución analítica de la ecuación diferencial en el elemento local en las condiciones de interpolación de límites aproximada en el elemento local para formar todo el sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Además de las soluciones mencionadas anteriormente para las ecuaciones de Saint-Venant completas o simplificadas, a lo largo de los años también se han desarrollado en hidrología muchos métodos de cálculo simplificados para el flujo unidimensional. Por ejemplo, la ecuación de movimiento se simplifica a una ecuación que calcula la relación entre el volumen de almacenamiento de agua y el volumen de descarga de una determinada sección del río dentro de un período de cálculo, y luego las ecuaciones se resuelven simultáneamente. Al mismo tiempo, se estudia la relación entre los métodos comúnmente utilizados en hidrología y la resolución de las ecuaciones de Saint-Venant. Por ejemplo, el algoritmo de flujo de Muskingum, ampliamente utilizado, puede clasificarse como un caso especial de ondas difusivas. Los métodos hidrológicos son simples, funcionan bien en determinadas situaciones y se utilizarán ampliamente en el futuro.

Para el flujo no gradiente, el flujo de agua conecta las dos partes del flujo gradiente a través de ondas de choque. Por ejemplo, la transición de flujo rápido (flujo supercrítico) a flujo lento (flujo subcrítico) se logra mediante un salto hidráulico. Los frentes de olas casi verticales suelen aparecer durante la marea alta y las olas de rotura de presas. En este momento, el flujo gradiente en ambos lados todavía puede describirse mediante las ecuaciones de Saint-Venant. Esto se puede resolver siempre que se utilicen las condiciones de salto en la onda de choque y ciertos criterios (como las condiciones de entropía, etc.) para juzgar si es físicamente permisible.

El cálculo del flujo gradualmente inestable con superficie libre descrito por la ecuación de Saint-Venant tiene una importancia práctica importante. El cálculo de la evolución de las inundaciones es una base importante para la previsión de inundaciones, el diseño de terraplenes y las aplicaciones de sistemas de control de inundaciones.

El cálculo del flujo inestable de los canales de desvío de las centrales hidroeléctricas, aguas abajo, canales de irrigación y navegación es la base para determinar la elevación de salida de los terraplenes y tuberías de tiro y demostrar la seguridad y eficiencia de la generación de energía, el transporte marítimo, el suministro de agua y otras instalaciones de ingeniería. Además, el cálculo de las corrientes de marea de los estuarios y la estimación de los desastres por inundaciones causadas por rotura de presas también tienen una gran importancia económica.