¿Es cierto lo inverso del teorema de Wilson?

1 Defina el entero A > 1 y el número compuesto n que satisface an≡a(modn) se llama número pseudoprimo con base A. Teorema 2.3 Para cada entero A > 1, hay infinitos pseudoprimos con la base A. Tenemos (A2 -1. Del último teorema de Fermat y pa's P | AP-1-1; como p es un número impar, A2-1 es divisible por AP-1-1; y PA2-1, entonces hay es P(A2-1)|AP-1-1 Entonces 2p(A2-1)|(A2-1)(N-65438 ahora tiene A2p = N(A2-1) 1≡1(MODN). -1 = A2pm≡1m = 1 (MODN). Es decir, hay infinitos pseudoprimos con base a, pero todavía hay muy pocos en comparación con 88220671010 × 2 primos. Sin embargo, Serveux Lai Ji y Wagstaff calcularon que hay. sólo hay 19865 pseudoprimos en base 2 entre 1 y 2 × 1010. Entonces, en la mayoría de los casos, nuestra afirmación "si 2n" ≡2(modn), entonces n es un número primo" es correcta, por lo que tomamos esta afirmación como un número primo Por ejemplo, cuando n < n 1, n es un número pseudoprimo con base A. La existencia de tal número compuesto es Fermat El inverso del pequeño teorema N)=1 A tiene -1≡1(modn. ), pero no se puede concluir que n sea un número primo. Este número compuesto fue descubierto por primera vez por Carmichael, por lo que se llama número de Carmichael. Este es el primer número de Carmichael. Dado que 561 = 3×11×17, si mcd(a, 561)=1, entonces mcd(a, 3)=mcd (a, 3) Cada factor primo p de A2≡1(mod3), a 10≡. 1(MOD 11), a 16≡1(MOD 17 A80≡1(mod 11), A80≡1(MODii)n Todos tienen p-1 | n-1; ii) n es un número impar, y hay en al menos tres factores primos diferentes. Dejemos que n satisfaga las condiciones I), ii), iii) primero, y que n=p1p2...pk(. k≥3), p1, p2,..., pk sean primos impares diferentes. números. Ahora para cualquier A > 65433. Api-1≡1(mod pi) Del último teorema de Fermat, i=1, 2,…,k, y de la condición ii), existe MCM (P1-1, P2-65438. Entonces an-1≡1(MODPI )(I = 1, 2,…,k), entonces an-1 ≡ 1 (MODN) Por lo tanto, n es el número de Carmichael I = An-1≡1(modn) es an-1 (MODP). -1 | N-1, pero P-65438) = 1,1 (mod2t). De lo contrario, entonces, el supuesto es inconsistente. Entonces N debe ser un número impar, entonces pi es un número primo impar, i=1,...,k. Sea gi el módulo de raíz primitiva piui, i=1,...,K) = 1. Debido a que n es un número de Carmel, an-1≡1(modn), es decir, an-1≡1(modpiui), y viceversa, an-65438. Entonces hay gin-1 ≡ 1 (MODPIUI). φ(PIUI)|n-1 definido por la raíz primitiva es PIUI-1(PI-1)|n-1. Por lo tanto, ui=1, i=1,…,k. Por lo tanto, se prueba la condición I), PI-1, i=1,…,k, es decir, se prueba la condición ii). Tercero por la derecha. Porque P1-1 | p 1p 2-1, y p 1p 2-1 = (p 1-1)P2 P2-1, P2-1 P1-1, de esto podemos obtener p 1-110585 = 5 29 73 , 27845 = 5 17 29 23, 172081 = 7 13 31 665438. Esto no es algo sencillo.

Si solo hay un número finito de números de Carmichael, se puede dar un límite superior m. Entonces es fácil determinar que n es un número primo en el rango de n > m. Sin embargo, puede haber infinitos números de Carmichael. Sólo una suposición, y nadie ha demostrado hasta ahora, pero la mayoría de la gente piensa que este resultado es correcto. 3. Discriminación de números primos y la hipótesis de Riemann generalizada En 1976, Munet descubrió la profunda conexión entre la discriminación de números primos y la hipótesis de Riemann generalizada (ver apéndice). El resultado que obtuvo es que si la Hipótesis de Riemann generalizada (REH) es cierta, entonces existe un algoritmo que puede determinar si n es primo en tiempo polinómico de log2n para cada n. Es decir, existe un algoritmo polinomial para identificar números primos. , y este algoritmo Se puede diseñar. El descubrimiento de esta relación también se basa en el estudio del teorema infinitesimal de Fermat. El famoso resultado de Euler que aparece a continuación es una generalización del teorema infinitesimal de Fermat. Teorema 2.11 Si n es un número primo impar, entonces cualquier número natural A y na tienen 1978. A principios de 1976, Le Maire publicó un artículo breve y conciso, demostrando que lo inverso del Teorema 1 también es cierto. Obtuvo el Teorema 2.12 (Le Maire). Si n es un número complejo impar, entonces hay un número natural que satisface (A), lo que demuestra que si n contiene el factor pα, p es un número primo impar, α > 1. Sea A la raíz primitiva de pα, si n=p1p2...Pt, t≥2. Pero p2 es un número impar Entonces debe haber un A (A, aunque este resultado de Lemmer muestra que si N es un número compuesto, no significa que A esté en algún lugar. entre 1 y N. número N, por supuesto, también podemos calcular cada uno entre 1 y N. Por lo tanto, esperamos mejorar los resultados de Lemmer. Si solo probamos algunos A, podemos esperar obtener una discriminación de números primos más eficiente. Método, dado un número n, todos los grupos Un={a(modn) formados por la contracción de n forman un subgrupo. Entonces podemos usar el siguiente resultado de Ankenny y Montgomery (Teorema 2.13). se cumple la Hipótesis de Riemann generalizada (REH), existe una constante c para cualquier número natural n y Un para cualquier grupo G, homomorfismo no unitario ψ, Q tal que 1 < q ≤ c (log2n) 2 y ψ (qmodn). ≠1 (donde 1 es la identidad de G) De esto, Munet obtiene el siguiente resultado: Teorema 2.14 (Munet) En la hipótesis generalizada de Riemann, existe entonces a de 1≤a≤C(logn)2 Un a Un Homomórfico. mapeo de n Debido a que n es un número compuesto, se puede ver en el Teorema 2.12 que ψ no es un mapeo homomórfico. Por lo tanto, se puede ver en el Teorema 2.13 que la existencia de a hace que 1 < a ≤ c (log2n) 2 sea tal. que ψ(amodn) es una constante c. Tenga en cuenta que el teorema 2.14 es el mismo que el teorema 2.13. Lu Wei señaló en 1978 que la constante c en el teorema 2.14 se puede establecer en 70. Podemos diseñar un algoritmo como este: (modn). ) es cierto para un A, entonces deje de probar, entonces N es un número compuesto (según el Teorema 2.11. Si no es cierto para cada A, es decir, para A = 1, 2, la cantidad del cálculo). es 70, es decir, la carga de trabajo es O (log25), por lo que este es un algoritmo polinomial. De esta manera, siempre que se establezca la hipótesis de Riemann generalizada, se encuentra el algoritmo polinomial para la discriminación de números primos. La prueba de la hipótesis generalizada de Riemann es bastante difícil, lo cual es un problema que siempre ha preocupado a los matemáticos. La discusión aquí también apunta a la necesidad de estudiar el vegetarianismo de una manera más avanzada.