La condición necesaria y suficiente para que la matriz simétrica real A sea definida positiva es que exista un proceso para demostrar que la matriz invertible Q hace que A=QQ (y A = Q 2) obtenga una solución de orden superior.

El teorema LZ es realmente incorrecto... porque debería ser a = q 'q.

Contraejemplo: Q=(1 1), A=Q? = (0 1), |λe-a | = |λ-1 | =λ(λ+1)-(λ+1)(λ-1)=λ+1.

-1 0 -1 -1 λ+1 λ+1

a es una matriz definida negativa

Entonces déjame probar la proposición correcta.

Prueba: Suficiencia: Para cualquier vector X distinto de cero de n dimensiones, dado que Q es reversible, QX≠0, por lo tanto

X'AX=X'Q'QX=( QX)'(QX)=|QX|? & gt0

Necesidad: supongamos que F es una forma cuadrática definida positiva, entonces los valores propios de la matriz A de F son todos mayores que 0 y hay una matriz ortogonal p

Supongamos que p (-1 ) AP = diag (λ 1, λ 2,..., λ n)

donde λI > 0 (i=1, 2..., n) son los n valores propios de A , entonces

A=Pdiag(λ1, λ2,...,λn)P^(-1)

p es ortogonal, entonces p (- 1) = p '

Diagnóstico (λ 1, λ 2,..., λ n) = Diag (λ 1, λ 2,..., λ n) * Diag (λ 1, λ 2,... ., λn).

Entonces,

A=Pdiag(√λ1,√λ2,...,√λn)*diag(√λ1,√λ2,...,√λn)P '

Supongamos Q=diag(√λ1,√λ2,...,√λn)P '

Entonces q' = p' diag (√λ1,√λ2, . ..,√λn).

Entonces A=Q'Q

p, diag(√λ1,√λ2,...,√λn) es reversible y Q es reversible.