Se sabe que la ecuación cuadrática de X es (a-1)x^2+(2-3a)x+3=0

Sabemos que la ecuación cuadrática aproximadamente Cuando es un número real igual a 1, esta ecuación siempre tiene dos raíces reales

(2) Si m, n (m

(3) Bajo la condición de que se establezca (2), la línea recta l se gira en sentido antihorario alrededor del punto A por un ángulo α (0°<α<90°) para obtener la línea recta l' , l' corta el eje y en el punto P para formar una línea paralela al eje x, y corta con la imagen del anterior función proporcional inversa y=k/x en el punto Q. Cuando el área del cuadrilátero APQO' es 9- 3 raíz 3/2, encuentre el valor del ángulo α

(Cambié la condición 1 /m+1/n=3/4 a 4/3, de lo contrario el resultado será muy problemático!)

Solución: (1 ).∵Δ=(2-3a)?-12(a -1)=9a?-24a+16=(3a-4)?≧0 es cierto para cualquier a, ∴ cuando a≠1 (si a=1, entonces la ecuación original

ya no es una ecuación cuadrática), esta ecuación siempre tiene dos raíces reales (es una raíz múltiple cuando a=4/3.)

(2). /mn=[-(2-3a)/(a-1)]/[3/(a-1)]=(3a-2)/3=a -(2/3)=4/3, entonces a =2/3+4/3=2

Debido a que m y n son las raíces de la ecuación, entonces m+n=-(2-3a )/(a-1), mn=3/ (a-1), por lo que se obtiene la fórmula anterior.

Sustituye el valor de a en la ecuación original y simplifica: x?-4x+3=(x-1)(x-3)=0, entonces m=1, n=3. p>

Entonces la línea recta L: el punto de intersección A (-3, 0) de y=x+3 y el eje x, y el punto de intersección B (0, 3) con el eje y ; supongamos que el origen de las coordenadas es simétrico con respecto a L

Las coordenadas del punto O′ son (p, q), entonces el punto medio de OO′ (p/2, q/2) está en la línea recta. L, entonces q/2=(p/2)+3,

Simplifica para obtener q=p+6.............(1 y OO′); ⊥L (las pendientes de los dos se vuelven recíprocas negativas), ∴q/p =-1, es decir, q=-p......(2)

(1)(2) Solución simultánea: -p=p+6, entonces p =-3, q=3;

El punto O′ (-3, 3) está en la función proporcional inversa y=k/x, por lo que sustituyendo sus coordenadas en k=pq=-9; entonces obtenemos la proporción inversa Función: y=-9/x

(3) El ángulo de inclinación de la línea recta L es de 45° después de girarla en sentido antihorario. punto A por un ángulo agudo α, el ángulo de inclinación de la recta L′ es 45°+α Por lo tanto, la pendiente de L′ es tan(45°+α), su ecuación es y=[tan(45°+α). )](x+3), y las coordenadas de su punto de intersección P con el eje y son (0, 3tan(45°+α));

Sustituye y=3tan(45°+α) ) en la ecuación de la función proporcional inversa, y obtenemos x=-9/[3tan(45°+α)]=-3cot(45°+ α), por lo que las coordenadas de la intersección Q son

( -3cot(45°+α), 3tan(45°+α)); entonces las coordenadas de cada vértice del cuadrilátero APQO′ son las siguientes:

A(-3, 0); 0, 3tan(45°+α)); Q(-3cot(45°+α), 3tan(45°+α)); (1/2)[3cot(45°+α)+3)[3tan(45°+α)-3]=(9/2)[(cot(45° +α)+1]/[tan(45 °+α)-1]

=(9/2)[1+tan(45°+α)-cot(45°+α)- 1]=(9/2)[(1 +tanα)/(1-tanα)-(1-tanα)/(1+tanα)]

=18tanα/(1-tan?α)

S?=3 ×3=9; S?=(1/2)×3×3tan(45°+α)=(9/2)tan(45°+α)=(9 /2)[(1+tanα)/( 1-tanα)]

Entonces obtenemos una ecuación: 18tanα/(1-tan?α)+9-(9/2)[(1+ tanα)/(1-tanα)]=9 -3√3/2

Es decir, 18tanα/(1-tan?α)-(9/2)[(1+tanα)/(1 -tanα)]=-3√3/ 2

36tanα-9(1+tanα)?=-3(√3)(1-tan?α)

Simplificar Ordenar (9+3√3)tan? α-18tanα+9-3√3=0

Entonces tanα={18-√[(324-4(9+3√3)(9 -3√3)]}/[2( 9+3√3)]=[18-√(324-216)]/[2(9+3√3)]

=(18 -√108)/[2(9+3 √3)]=(18-6√3)/[2(9+3√3)]=(3-√3)(3+√3)=(1 -√3/3)/(1+√ 3/3)=tan(45°-30°)

=tan15°, es decir, α=15°

(Nota: No se puede tomar el signo positivo antes del cuadrado raíz, porque si se toma el signo positivo, tanα = 1, α = 45 °, en este momento, el eje L′⊥x no tiene intersección con el eje y, es decir, los cuatro lados forman un segmento de línea, el cuadrilátero ya no existe. )