Examen de matemáticas de sexto grado
Un número irracional es un número real que no se puede expresar exactamente como la razón de dos números enteros, es decir, un decimal infinito no recurrente. Como pi, la raíz cuadrada de 2, etc.
Los números racionales son fracciones y números enteros, y se pueden convertir en decimales finitos o en decimales infinitamente recurrentes. Como el 22/7, etc.
Los números reales se pueden dividir en números racionales y números irracionales.
La diferencia entre números irracionales y números racionales:
1. Cuando los números racionales y los números irracionales se escriben como decimales, los números racionales se pueden escribir como decimales finitos y decimales recurrentes infinitos.
Por ejemplo, 4 = 4,0, 4/5 = 0,8, 1/3 = 0,33333... Y los números irracionales sólo se pueden escribir como infinitos decimales no recurrentes.
Por ejemplo √2 = 1.414213562........................ ............. ................................................. .. ....................................
2. son Se puede escribir como la razón de dos números enteros, no; Con base en esto, algunas personas sugirieron que los números irracionales deberían etiquetarse como "irrazonables", los números racionales deberían cambiarse a "números comparativos" y los números irracionales deberían cambiarse a "números no comparativos". Después de todo, los números irracionales no son irrazonables, pero al principio la gente no sabía mucho sobre ellos.
Utilizando las principales diferencias entre números racionales y números irracionales, se puede demostrar que √2 es un número irracional.
Prueba: Supongamos que √2 no es un número irracional, sino un número racional.
Dado que √2 es un número racional, se debe escribir como la razón de dos números enteros:
√2=p/q
Dado que P y Q no tienen factores comunes, Menos, p/q puede considerarse como la fracción más simple, es decir, la forma de fracción más simple.
Cuadrado √2 = ambos lados de P/q.
Obtenemos 2 = (p 2)/(q 2)
Es decir, 2 (q 2) = p 2.
Debido a que 2q^2 es un número par, p debe ser un número par. Sea p=2m.
A partir de 2 (q 2) = 4 (m 2)
Q 2 = 2 m 2.
De manera similar, q debe ser un número par, suponiendo q=2n.
Dado que P y Q son números pares, deben tener un factor común de 2, lo que contradice la suposición anterior de que p/q es la fracción más simple. Esta contradicción se debe al supuesto de que √2 es racional. Entonces √2 es un número irracional.
[Editar este párrafo] Fuente
Pitágoras (alrededor del 885 a. C. al 400 a. C.) fue muy inteligente desde que era niño. Una vez caminaba por la calle cargando leña. Un hombre mayor vio que su método para atar leña era diferente al de los demás y dijo: "Este niño tiene mucho talento en matemáticas y definitivamente se convertirá en un académico universitario en el futuro". , dejó atrás su leña y cruzó el Mediterráneo para estudiar en Tresmen. Pitágoras era muy inteligente. Bajo la dirección de Taylor, él resolvió muchos problemas matemáticos. Entre ellos, demostró que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados, se puede calcular que si se quiere utilizar baldosas cerámicas para pavimentar el piso, sólo se utilizan tres tipos de baldosas poligonales regulares: triángulo equilátero, regular; Se puede utilizar un cuadrilátero y un hexágono regular para pavimentar el suelo. También se demostró que sólo existen cinco poliedros regulares en el mundo: los regulares 4, 6, 8, 12 y el icosaedro. También descubrió los números impares, pares, triangulares, cuadriláteros, perfectos, de la amistad e incluso los números pitagóricos. Pero su mayor logro fue el descubrimiento del teorema de Pitágoras, que luego recibió su nombre, es decir, la suma de las áreas de los cuadrados de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa. Se dice que Pitágoras inventó este método cuando vio que los artesanos usaban baldosas cuadradas para colocar el piso del templo y, a menudo, calculaban el área.
Después de que Pitágoras se volvió competente en el uso del conocimiento matemático, sintió que no podía simplemente resolver problemas, por lo que trató de expandirse del campo de las matemáticas al campo de la filosofía y explicar el mundo desde la perspectiva de los números. .
Después de una dura práctica, se le ocurrió la idea de que "todo es número". El elemento número es el elemento de todas las cosas y el mundo está compuesto de números. Nada en el mundo puede expresarse mediante números. Los números mismos son el orden del mundo. Pitágoras también fundó una fraternidad de jóvenes a su alrededor. Unos 200 años después de su muerte, sus discípulos desarrollaron esta teoría y formaron una poderosa escuela pitagórica.
Un día, los miembros de la escuela acababan de terminar un seminario académico y estaban tomando un crucero para disfrutar del paisaje y disipar el cansancio del día. Era un día soleado y la brisa del mar soplaba suavemente, provocando capas de olas. Todos están muy felices. Un erudito barbudo miró el vasto mar y dijo emocionado: "La teoría del señor Pitágoras no está nada mal". Ves que las olas están capa sobre capa, con picos y valles, como números impares y pares. El mundo es un orden de números. "Sí, sí." "En ese momento, un hombre corpulento que estaba remando entró y dijo: "Hablemos de este barco y del mar". Medir el agua del mar con un barco definitivamente te dará una cifra exacta. Todo se puede representar con números. ”
“No lo creo. "En ese momento, un erudito en la popa de repente hizo una pregunta. Dijo con calma:" ¿Qué pasa si al final no es un número entero? ”
“Eso es un decimal. "¿Qué debo hacer si el decimal no se puede dividir en un bucle?" ”
“Imposible, todo en el mundo se puede expresar de forma directa y precisa mediante números. "
En ese momento, Xiucai dijo con calma en un tono que no quería discutir más: "No todo en el mundo se puede expresar con los números que conocemos ahora. Tomemos como ejemplo el triángulo rectángulo, que el Sr. Pitágoras estudió más. En el caso de un triángulo rectángulo isósceles, no se puede medir con precisión la hipotenusa con un lado derecho. ”
El erudito que hizo esta pregunta se llama Hipasus, un matemático inteligente, diligente e independiente entre los pitagóricos. Si no fuera por la controversia de hoy, no querría expresar Mi nuevo punto de vista. Al oír esto, el gran hombre que remaba se detuvo y gritó: "No, la teoría del señor se aplica en todas partes". Hippasos parpadeó con sus ojos inteligentes, estiró las manos y comparó los dos escapes con un triángulo rectángulo isósceles.
"Si el lado recto es 3, ¿cuál es la hipotenusa?" "
"4. "
"¿Más preciso? ”
”4.2. "
"¿Más preciso? ”
”4.24. "
"¿Más preciso? "
La cara del gran hombre estaba roja y no pudo responder por un tiempo. Hippasos dijo: "No se pueden contar 10 o 20 dígitos en el futuro. Esto es lo más preciso. He calculado muchas veces que un lado y el otro lado de cualquier triángulo rectángulo isósceles no se pueden representar con un número exacto. "Esto fue como un rayo caído del cielo, y todo el barco inmediatamente rugió: "¡Cómo te atreves a violar la teoría del Sr. Pitágoras y destruir el credo de nuestra escuela! "¡Atrévete a creer que los números son el mundo!" Hippasos estaba muy tranquilo en ese momento. Dijo: "Este es un nuevo descubrimiento. Incluso el señor Pitágoras me recompensaría cuando estuviera vivo. Puedes verificarlo en cualquier momento". Pero la gente no escuchó su explicación y gritó enojado: "¡Traición! Señor discípulo sin escrúpulos". "¡Mátalo! ¡Mátalo!" El hombre barbudo se apresuró y le dio un puñetazo en el pecho. Hippasos protestó: "¡Ignoras la ciencia, eres tan irrazonable!" "El credo de un defensor siempre es legítimo". En ese momento, el gran hombre también se apresuró a recogerlo: "¡Aquí, una recompensa suprema para ti! " dijo, arrojando a Hipasus al mar. El mar azul rápidamente sumergió su cuerpo y nunca volvió a salir. En ese momento, había algunas nubes blancas flotando en el cielo y algunas aves acuáticas pasaban por la orilla del mar. Después de una tormenta, la costa mediterránea parece haber vuelto a la tranquilidad.
Un matemático muy talentoso fue arruinado por un erudito autoritario esclavo. Pero sí hace que la gente vea el valor de los pensamientos de Hippasos. Después de este incidente, los pitagóricos descubrieron verdaderamente que no sólo los lados rectángulos de un triángulo rectángulo isósceles no pueden medir la hipotenusa, sino que tampoco el diámetro de un círculo puede medir la circunferencia. Ese número es 3,141592653589726... y nunca será exacto. Poco a poco, comenzaron a arrepentirse de sus acciones irracionales al matar a Hippasus.
Poco a poco comprenden que la intuición no es absolutamente confiable y algunas cosas deben probarse científicamente. Entienden que en el pasado, además del número "0" y los números racionales como los naturales, existían infinitos decimales no recurrentes; De hecho, se trata de un número recién descubierto; debería llamarse "número irracional". Este nombre refleja la verdadera cara de las matemáticas, pero también registra verdaderamente la arrogancia de los pitagóricos.
La crisis matemática provocada por los números irracionales se prolongó hasta el siglo XIX. En 1872, el matemático alemán Dedekind partió del requisito de la continuidad y definió los números irracionales mediante la "división" de los números racionales. Estableció la teoría de los números reales sobre una base científica estricta, poniendo así fin a la era en la que los números irracionales se consideraban "irracionales". números" y duró dos años. La primera gran crisis en la historia de las matemáticas en más de mil años.
[Editar este párrafo] Lecciones y reflexiones
Ciencia no es igual a sacralidad. Ser científico no significa ser una persona moral. Esas lecciones existen a lo largo de los siglos. En el año 500 a. C., el hermano menor de los pitagóricos (Hipasos) en la antigua Grecia descubrió los números irracionales, pero fue ejecutado por su maestro.
Las lecciones de la historia están para educar a la humanidad. Hoy en día, todavía es una tarea difícil para la humanidad salir completamente de la sombra del poder político y de Lysenko. Las palabras de Norbert Wiener, fundador de la cibernética, aportan reflexiones sobre este acontecimiento: "La ciencia es una forma de vida que sólo puede florecer cuando las personas tienen libertad de creencia. Basada en órdenes externas. Las creencias que se ven obligadas a obedecer no son creencias. La sociedad basada en creencias tan falsas perecerá inevitablemente debido a la parálisis, porque en una sociedad así, la ciencia no tiene base para un crecimiento saludable".
De hecho, un problema eterno en la existencia y el desarrollo de la ciencia es La contradicción entre estándares e innovación. Por un lado, el surgimiento del conocimiento científico inevitablemente generará estándares relevantes para juzgar el bien y el mal. Por otro lado, el proceso de comprensión científica es un proceso de ruptura de los estándares originales, por lo que inevitablemente será restringido o suprimido por los estándares originales. Esto requiere que reflexionemos más profundamente sobre dos tragedias científicas: una son las consecuencias de implementar normas equivocadas; la otra es el desastre humanitario causado por la innovación desenfrenada; Nie Wentao dijo en su discurso sobre "Capacitación técnica adecuada para hospitales primarios": Durante el período comprendido entre la implementación del estándar dietético "limitado en carbohidratos" para la diabetes (estándar John Rollo) hasta la reimplementación del estándar "alto en carbohidratos" ( como el estándar del Peking Union Medical College Hospital), innumerables pacientes Pérdida adicional de la salud debido al tratamiento dietético incorrecto de la diabetes. ¿Cómo debería afrontar la comunidad médica esta situación? Este discurso causó una fuerte conmoción precisamente porque planteó una profunda cuestión ética científica.
Dos pasajes de la obra original de Stefan Zweig "Los derechos de los herejes": "(Castario y Calvino) En esta guerra, hay una "cuestión de vida o muerte" mucho más amplia y eterna. "Cada pensamiento El hombre en cada país, en cada época, tiene que determinar muchas veces los límites de la libertad y el poder, porque sin poder, la libertad degenerará en indulgencia y sobrevendrá el caos. Por otra parte, a menos que se dé la libertad, el poder se convierte en tiranía. "Estos dos pasajes esconden los siguientes significados: (1) Todos aquellos que sostienen puntos de vista heréticos deben probar sus derechos, o que todos aquellos que se oponen a la herejía deben probar sus derechos. Aquellos que sostienen puntos de vista diferentes deben proporcionar pruebas; (2) Todos aquellos que Los que sostienen puntos de vista heterodoxos necesitan demostrar su exactitud sin quejarse de la incomprensión de la sociedad anterior. (3) La importancia del llamado desarrollo científico es cambiar la comprensión original de los seres humanos. Por lo tanto, la elección equivocada es la correcta; de lo contrario, no habría racionalidad para la exploración científica.
La sección áurea
Hace poco estaba hojeando una revista de matemáticas en casa y encontré la sección áurea. Después de consultar mucha información, encontré que era un número perfecto. Tenía mucha curiosidad, así que me conecté a Internet para buscar conocimientos sobre la sección áurea. El resumen es el siguiente.
Divide un segmento de línea en dos partes de modo que la proporción de una parte con respecto a la longitud total sea igual a la proporción de la otra parte con esta parte. Su razón es un número irracional y el valor aproximado de los primeros tres dígitos es 0,618. Debido a que la forma diseñada de acuerdo con esta proporción es muy hermosa, se la llama sección áurea, también llamada proporción chino-extranjera. Este es un número muy interesante.
Usamos 0,618 para aproximar, que se puede encontrar mediante un cálculo simple:
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
Esto El papel de este valor no sólo se refleja en campos del arte como la pintura, la escultura, la música y la arquitectura, sino que también juega un papel importante en la gestión y el diseño de ingeniería. Ahora, la investigación científica muestra que la posición de 0,618 a menudo se convierte en el mejor estado de la naturaleza e incluso de la vida.
Hablemos primero de una secuencia. Los primeros números son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... El nombre de esta. serie es ". La característica es que a excepción de los dos primeros números, cada número es la suma de los dos números anteriores (el valor es 1).
¿Cuál es la relación entre la secuencia de Fibonacci y la secuencia áurea? sección La proporción de los números de Fibonacci se acerca gradualmente a la proporción áurea a medida que aumenta la secuencia, es decir, f (n) / f (n-1) - → 0.618 porque los números de Fibonacci son todos números enteros y hay dos números enteros. La división es un número racional, pero se acerca gradualmente al número irracional de la proporción áurea. Pero cuando continuamos calculando números de Fibonacci más grandes, encontraremos que la proporción de dos números adyacentes está realmente cerca de la proporción áurea. p>
Un ejemplo muy ilustrativo es la estrella/pentágono de cinco puntas. Hay cinco estrellas de cinco puntas en nuestra bandera nacional. ¿Por qué la relación de longitud de todos los segmentos de línea que se pueden encontrar en la estrella se ajusta a la? proporción áurea. Todos los triángulos que aparecen después de la diagonal del pentágono regular son triángulos de proporción áurea
Debido a que la parte superior de la estrella de cinco puntas tiene un ángulo de 36 grados, también puede serlo. concluyó que el valor de la sección áurea es 2Sin18.
La sección áurea es aproximadamente igual a 0,618:1.
Usando dos puntos áureos en el segmento de recta, se puede formar una regular. estrella de cinco puntas y un pentágono regular
Hace más de 2.000 años, Odox Sass, el tercer mayor matemático de la Escuela de Atenas en la antigua Grecia, propuso por primera vez la llamada sección áurea. dividir un segmento de línea de longitud L en dos partes de modo que la razón de una parte al todo sea igual a la razón de la otra parte. La forma más sencilla de calcular la sección áurea es calcular la razón de los dos últimos números de la. Secuencia de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...2/3, 3/5, 4/8, 8/65438.
Antes y después del Renacimiento , la sección áurea fue introducida en Europa por los árabes, acogida con agrado por los europeos. Lo llamaron el "método áureo", y un matemático europeo del siglo XVII incluso lo llamó "el algoritmo más valioso de todo tipo" en la India. Ratio" o "Regla de los Tres Números" es como la llamamos ahora.
De hecho, la "sección áurea" también se registra en China. Aunque no es tan antigua como la antigua Grecia, fue Creado de forma independiente por antiguos matemáticos chinos y luego introducido en la India, después de la investigación, el algoritmo de proporción europeo se originó en China y se introdujo en Europa desde Arabia a través de la India. No provino directamente de la antigua Grecia. Debido a que tiene valor estético en las artes plásticas y la artesanía, el diseño largo y ancho del arte y las necesidades diarias puede despertar el sentido de belleza de las personas, y también se usa ampliamente en la vida real. La sección áurea se usa científicamente para la proporción de segmentos de línea. En el edificio, el locutor en el escenario no está parado en el centro del escenario, sino al costado del escenario, de pie en la sección dorada de la longitud del escenario, es el más hermoso y tiene la mejor transmisión de sonido. Incluso en el mundo vegetal se utiliza la sección áurea. Si miras hacia abajo desde lo alto de una pequeña rama, verás que las hojas están dispuestas según la sección áurea. En muchos experimentos científicos, a menudo se utiliza un método 0.618 para seleccionar soluciones, es decir, el método de optimización, que nos permite organizar racionalmente menos experimentos y encontrar condiciones de proceso occidentales razonables y adecuadas. Es precisamente por su amplia e importante aplicación en la arquitectura, la literatura y el arte, la producción industrial y agrícola y los experimentos científicos que la gente la llama la sección áurea.
La sección áurea es una relación matemática proporcional. La sección áurea es rigurosa en proporciones, artísticamente armoniosa y contiene un rico valor estético. Generalmente es 0,618 en la aplicación, al igual que pi es 3,14 en la aplicación.
Descubriendo la Historia
Hace más de 2.000 años, el antiguo matemático griego Eudoxo descubrió que si una longitud se divide en dos partes, si la longitud de la parte pequeña es la igual que la longitud de la mayoría La relación de la longitud es igual a la relación entre la longitud de la mayoría de las partes y la longitud total, entonces esta relación es igual a 0,618.
Cuando Euclides escribió "Elementos de geometría" alrededor del año 300 a. C., absorbió los resultados de la investigación de Eudoxo y analizó sistemáticamente la sección áurea, convirtiéndose en el primer trabajo sobre la sección áurea.
En el siglo IV a.C., el antiguo matemático griego Eudoxo fue el primero en estudiar sistemáticamente este problema y establecer la teoría de la proporción.
Desde que los pitagóricos en la antigua Grecia en el siglo VI a. C. estudiaron los métodos de dibujo de pentágonos regulares y decágonos regulares, los matemáticos modernos han llegado a la conclusión de que los pitagóricos de aquella época habían tocado e incluso dominado la sección áurea.
Después de la Edad Media, la sección áurea quedó envuelta en un misterio. Varios italianos, Pacioli, llamaron sagrada la relación entre China y el punto final y escribieron un libro sobre ello. El astrónomo alemán Kepler llamó sagrada a la sección áurea.
No fue hasta el siglo XIX cuando el nombre de Sección Áurea se fue popularizando paulatinamente. La sección áurea tiene muchas propiedades interesantes y es muy utilizada por los humanos. El ejemplo más famoso es el método de la sección áurea o método 0,618 en optimización, propuesto por primera vez por el matemático estadounidense Kiefer en 1953 y popularizado en China en la década de 1970.
Si prestas un poco de atención, encontrarás que si el presentador del programa se para en una posición que está aproximadamente a 0,618 de la longitud del escenario, se verá más elegante, pero si se para en el medio, se verá aburrido. Para una persona bien proporcionada, la relación entre la longitud desde la rodilla hasta los dedos de los pies y la longitud desde el ombligo hasta la planta del pie también es 0,618.
Curiosamente, la gente cree que la música también tiene una "sección áurea". Los matemáticos han analizado la música de Mozart: cada uno de los conciertos para piano de Mozart se puede dividir en dos partes, una parte de exhibición y una parte de reproducción ampliada. Si cuentas el número de tiempos, la proporción entre el número de tiempos en la primera parte y la segunda parte es casi exactamente la misma que la sección áurea.
0.618 también se puede utilizar para la salud y la longevidad. La temperatura normal del cuerpo humano es de 37 °C y el producto de 0,618 es 22,8 °C. Por lo tanto, las personas se sienten más cómodas cuando la temperatura ambiente es de 22 °C a 24 °C. En este momento, el metabolismo del cuerpo humano, el ritmo circadiano. y las funciones fisiológicas están en su mejor momento. El movimiento humano y la quietud también deben mantener una proporción de 0,618, que equivale aproximadamente a cuatro turnos y seis minutos de quietud. Esta es la mejor manera de mantener la salud y la longevidad.
Al igual que pi, en circunstancias normales, basta con recordar 3.14, pero solo se usa en ingeniería. Sólo en campos como el aeroespacial y el aeroespacial es posible utilizar decenas o cientos de decimales.