¿Cuál es la definición de paradoja de la información?
También conocida como paradoja o misterio, hace referencia a una proposición que lleva a una contradicción. La palabra inglesa paradoja proviene de la palabra griega "para dokein", que significa "pensar más".
La palabra "paradoja" se utiliza a menudo en los periódicos, y su significado literal es "teoría absurda o afirmación autocontradictoria". Desde el punto de vista lógico, un enunciado paradójico tiene las siguientes características: si se supone que este enunciado es verdadero, se inferirá que este enunciado es falso por el contrario, si se supone que este enunciado es falso, será falso; dedujo que esta afirmación es cierta. No es ni bueno ni malo, es realmente un dilema.
Ejemplos de paradojas semánticas
Las paradojas existen desde la antigüedad. En general, se cree que la paradoja más antigua es la "paradoja del mentiroso" en la antigua Grecia. "El Libro de Tito en el Nuevo Testamento" registra esto:
Un profeta local entre los cretenses dijo: "Los cretenses siempre mienten, son bestias malvadas, codiciosas y perezosas. "Este testimonio es verdadero.
Este "profeta" cretense fue Epiménides. Eubulides luego refinó sus palabras a:
Estoy mintiendo.
¿Esta frase es verdadera o falsa? Si es una oración verdadera, podemos saberlo por el contenido de esta oración: el hablante miente. Dado que es una mentira, entonces lo que está diciendo es una mentira; por el contrario, si esta oración es falsa, dice una mentira; está mintiendo. El significado de esta oración El contenido es exactamente "Estoy mintiendo", por lo que esta oración es verdadera.
Posteriormente se descubrieron varias variaciones de la "Paradoja del Mentiroso", como el llamado "Ciclo del Mentiroso":
A dijo: "Lo siguiente es mentira".
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B dijo: "Lo anterior es una afirmación verdadera".
La "Paradoja del Mentiroso" y el "Ciclo del Mentiroso" son paradojas estrechamente relacionadas con la expresión de la naturaleza. lenguaje, que involucra la verdad Falso, definición, nombre, significado y otros conceptos semánticos, este tipo de paradoja se llama "paradoja semántica". Hay muchos ejemplos de paradojas semánticas. La "paradoja de K. Grelling-L. Nelson" es muy interesante. Está relacionada con la aplicación de adjetivos:
Dividir los adjetivos en Hay dos categorías, una se llama. "autopredicados", es decir, establecidos y verdaderos por sí mismos. Por ejemplo, el adjetivo "polisílabo" en sí es polisilábico y "inglés" en sí es inglés. Ambos son autopredicados. El otro tipo se llama "lo que predica", es decir, que no es verdadero para ellos mismos y no es verdadero para ellos mismos. Por ejemplo, el adjetivo "monosilábico" es su predicado porque la palabra no es una palabra monosilábica; "inglés" también es su predicado porque la palabra es china en lugar de inglesa; Surge la pregunta: ¿el adjetivo "predica" significa que predica?
El resultado es: si "predica" es lo que predica, entonces se inferirá que "predica" no es lo que predica, y viceversa. Conduciendo a la autocontradicción.
Paradojas y axiomatizaciones de la teoría de conjuntos
Otro tipo de paradoja involucra la teoría de conjuntos en matemáticas, conocidas como "paradojas matemáticas" o "paradojas de la teoría de conjuntos". La teoría de conjuntos fue fundada por el matemático alemán Cantor en las décadas de 1870 y 1880. Se basa en una visión del infinito: el "infinito real". El llamado "infinito real" significa tratar el "infinito" como una entidad conceptual completa. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, N={n: n es un número natural} se utiliza para representar el conjunto de todos los números naturales. Cabe señalar que en la historia del desarrollo matemático durante miles de años antes de esto, dominaba otra visión del infinito, a saber, el concepto de "infinito potencial" defendido por el antiguo filósofo griego Aristóteles. El llamado "infinito potencial" trata el "infinito" como un proceso que está en constante desarrollo y nunca podrá completarse. Por ejemplo, piense en los números naturales como una secuencia infinita de 1, 2, 3,..., n,... que continúa.
La teoría de conjuntos es un cambio revolucionario en los conceptos y métodos matemáticos. Debido a que es extremadamente conveniente para explicar teorías matemáticas antiguas y desarrollar nuevas teorías matemáticas, ha sido aceptada gradualmente por muchos matemáticos. Sin embargo, poco después de que Cantor fundara la teoría de conjuntos, él mismo descubrió un problema: la "Paradoja de Cantor" en 1899, también conocida como la "Paradoja de la cardinalidad máxima". Al mismo tiempo, también se descubrieron otras paradojas de la teoría de conjuntos, siendo la más famosa la "Paradoja de Russell" en 1901:
Dividimos los conjuntos en dos categorías, y cualquier conjunto que no se tenga a sí mismo como elemento es llamado conjunto normal Conjunto (por ejemplo, el conjunto de números naturales N en sí mismo no es un número natural, por lo que N es un conjunto normal). Cualquier conjunto que tenga a sí mismo como elemento se llama conjunto anormal. (Por ejemplo, el conjunto F de todos los seres no vivos no es un ser vivo, por lo que F es un conjunto anormal). Cada conjunto es un conjunto normal o un conjunto anormal. Supongamos que V es un conjunto compuesto por todos los conjuntos normales, es decir, V = {x:x?常x}, entonces ¿V es un conjunto normal?
Si V es un conjunto normal, sabemos por la definición de conjunto normal que V?V, y como V es el conjunto de todos los conjuntos normales, el conjunto normal V∈V, pero esto significa que V no es un conjunto normal, es un conjunto anormal; por el contrario, si V no es un conjunto normal sino un conjunto anormal, entonces V∈V se conoce por la definición de conjunto anormal, lo que significa que V es un elemento del conjunto; V está compuesto por todos los conjuntos normales, por lo que V debería ser un conjunto normal.
La paradoja de Russell revela un hecho duro: la teoría de conjuntos implica contradicciones lógicas. Si las matemáticas se basan en la teoría de conjuntos, provocarán cambios profundos en los cimientos del edificio matemático que podrían incluso causar que todo el edificio. derrocar. Una piedra provocó mil olas y estalló un debate sobre cuestiones fundamentales de las matemáticas.
En este debate, la más radical es la escuela intuicionista representada por el matemático holandés Brouwer. Adoptan una actitud completamente negativa hacia la teoría de conjuntos y creen que el concepto de "infinito real" es la fuente de la paradoja de la teoría. teoría de conjuntos. Por el contrario, otros matemáticos han emprendido el camino de la mejora y tratan de compensarlo y hacer las correcciones oportunas a la teoría de conjuntos para evitar paradojas. El resultado representativo en esta área es la teoría de conjuntos axiomática, que se ha convertido en una rama importante de las matemáticas modernas. La teoría de conjuntos axiomática utiliza métodos axiomáticos para describir conjuntos y operaciones de conjuntos, y modifica el "principio de generalización" de la teoría de conjuntos de Cantor. El principio de generalización se puede expresar como: todos los objetos que satisfacen la propiedad P pueden formar un conjunto S, es decir, S = {x: P (x)}, donde P (x) significa "x tiene la propiedad P". Esto confirma que cualquier propiedad puede determinar un conjunto, por lo que los mencionados F y V pasan a ser conjuntos legítimamente, y surge la paradoja.
En el sistema ZF de teoría axiomática de conjuntos, el principio de generalización se reemplaza por el siguiente "principio de separación": Si C es un conjunto, entonces aquellos elementos en C que satisfacen la propiedad P constituyen un conjunto S ={x :x∈C y P(x)}, es decir, bajo la premisa de que C es un conjunto, cualquier propiedad puede determinar un subconjunto del mismo. El resultado axiomático es: sólo los conjuntos normales pueden convertirse en conjuntos, pero los conjuntos anormales no pueden ser conjuntos. La paradoja de Russell y otras paradojas de la teoría de conjuntos pueden evitarse.
En la medida en que la teoría de conjuntos axiomática pueda evitar las paradojas existentes de la teoría de conjuntos y pueda desarrollar aún más las matemáticas sobre esta base, tendrá éxito. Desafortunadamente, la gente no puede probar la compatibilidad del sistema axiomático de la teoría de conjuntos, es decir, no pueden probar que no habrá contradicción lógica en el sistema. Además, algunos resultados en matemáticas modernas requieren el uso del "axioma de elección", lo que a su vez conducirá a algunas teorías extrañas que violan la intuición de las personas (como la "teoría extraña de la división"). Por lo tanto, todavía es necesario seguir discutiendo el tratamiento de la teoría axiomática de conjuntos, especialmente el uso del axioma de elección.
Algunas discusiones en profundidad sobre las paradojas
El descubrimiento de la paradoja de Russell también ha promovido un pensamiento profundo sobre las causas de las paradojas (incluidas las paradojas semánticas). De 1905 a 1906, Poincaré propuso en su artículo "Matemáticas y Lógica" que la raíz de la paradoja reside en la "definición no literal". La llamada definición no literal se refiere a definir un concepto (u objeto) con la ayuda de una totalidad, y el concepto (u objeto) en sí pertenece a esta totalidad.
Esta definición es circular (lo que Russell llama un "círculo vicioso") o "interesante". Por ejemplo, este es el caso del conjunto de anomalías "el conjunto F de todos los seres no vivos". Porque F se define con la ayuda de la totalidad de "todos los seres no vivos", y la propia F es miembro de esta totalidad. Al examinar las paradojas semánticas, también encontraremos rastros similares de "circulación" o "autoimplicación". Por ejemplo, el "ciclo del mentiroso" significa que las palabras de dos personas, A y B, circulan entre sí, y las definiciones de "autopredicado" y "ello-predicado" en la paradoja de Grelling-Nelson implican la verdad o la falsedad. de adjetivos sobre sí mismos.
En 1931, A. Tarski propuso la teoría de los "niveles del lenguaje" en su artículo "El concepto de verdad en los lenguajes formales". Aunque esta teoría está dirigida principalmente a los lenguajes formales, también es de gran importancia para el estudio de las paradojas semánticas en los lenguajes cotidianos. Tarski creía que el lenguaje ordinario es semánticamente cerrado: contiene tanto expresiones lingüísticas como declaraciones que establecen las propiedades semánticas de estas expresiones lingüísticas (como "verdadero", "falso"). Ésta es la fuente de la paradoja semántica. Para establecer una definición sustancialmente adecuada y formalmente correcta de una "oración verdadera", es necesario tratar el lenguaje en capas: la oración en cuestión pertenece a un cierto nivel de lenguaje (llamado "lenguaje objeto"), y la oración en cuestión Se afirma que las oraciones de naturaleza semántica pertenecen a un lenguaje de nivel superior (llamado "metalenguaje"). La "Paradoja del Mentiroso" se produce al afirmar la verdad de uno mismo y confundir los niveles del lenguaje.
En 1975, el famoso lógico contemporáneo S.A. Kripke propuso una nueva solución a la paradoja en su artículo "Esquema de la teoría de la verdad". Uno de los conceptos centrales es el "arraigo": para juzgar un enunciado que contiene un predicado de verdad ("verdadero" o "falso"), es necesario encontrar la "raíz" del enunciado, el enunciado correspondiente que no contiene un predicado de verdad. . Por ejemplo, para determinar si la oración "'El agua pura es incolora y transparente' es verdadera" es verdadera o falsa, hay que observar si la oración "El agua pura es incolora y transparente" es verdadera. un valor de verdad, y se puede juzgar si es correcto o incorrecto, por lo tanto, la oración anterior tiene raíz. Sólo los enunciados con raíces pueden considerarse verdaderos o falsos, pero los enunciados sin raíces no. Tanto la "Paradoja del Mentiroso" como el "Ciclo del Mentiroso" no tienen raíces, que es la característica básica de las paradojas.
La investigación reciente sobre paradojas ha sido influenciada por la "semántica situacional". Los lógicos lingüistas han notado que muchas paradojas semánticas en realidad involucran no solo la semántica, sino también el contexto del habla (incluido el lenguaje) y otros factores pragmáticos. están estrechamente relacionados. Tomemos como ejemplo la "paradoja del mentiroso". Cuando alguien dice "estoy mintiendo", significa que está expresando una afirmación de que esta afirmación es cierta en un contexto determinado. Sin embargo, la frase "'Estoy mintiendo' es falsa" no puede expresarse en el mismo contexto. Se expresa en otro contexto. Por lo tanto, la raíz de la paradoja no reside en la "autoimplicación" sino en diferentes contextos. Siempre que se comprenda el contexto de cada frase, muchas de las llamadas "paradojas" ya no son paradojas reales