La definición y propiedades de la varianza
Ya sabemos que la expectativa matemática refleja el valor medio de una variable aleatoria. En muchos problemas prácticos, es suficiente conocer este valor promedio, pero después de todo, las expectativas matemáticas solo pueden reflejar el valor promedio, lo cual tiene grandes limitaciones. En algunos casos, no basta con conocer el valor medio, o tomemos como ejemplo el error horario diario de un reloj. Si hay dos marcas de relojes y sus errores de hora diarios son respectivamente, cada uno tiene la siguiente lista de distribución:
gjzsj
Es fácil de verificar, y luego está = = 0. A partir de expectativas matemáticas, no podemos decir si las dos marcas de relojes son buenas o malas. Si observamos atentamente estas dos tablas de distribución, llegaremos a la conclusión de que los relojes de la marca A son mejores que los de la marca B. ¿Está garantizado que lo verán?
Analicemos la marca primero, conocida=0. Se puede ver en la tabla de distribución que el error de hora diario de la mayoría de los relojes es 0 y una pequeña cantidad de relojes están dispersos en ambos lados. Mirando nuevamente la marca B, aunque hay = 0, solo hay una pequeña cantidad de relojes dispersos en ambos lados y el rango de dispersión es mayor que el de la marca A. Desde este punto de vista, el error de tiempo de viaje diario de Los relojes de la marca A son relativamente estables, por lo que la comparación de la marca A. Los lectores pueden encontrar estos comentarios un poco detallados. Entonces, ¿se puede utilizar un indicador numérico para medir la desviación de una variable aleatoria de su valor esperado? De esto se trata esta sección.
Si la variable aleatoria a discutir es su expectativa matemática, entonces |-|
Mida la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática, pero las operaciones de valor absoluto tienen muchos inconvenientes. Entonces la gente lo usa para medir esta desviación. Pero es una variable aleatoria y su valor medio se utiliza para medir la desviación de su valor medio. Por lo tanto, se introducen las siguientes definiciones.
Definición 2.6 Sea una variable aleatoria discreta y existe expectativa matemática. Si existe, se llama varianza de la variable aleatoria, denotada como gjzsj
La raíz cuadrada de la varianza también se llama desviación estándar o raíz de la varianza, y generalmente se denota como. La desviación estándar se usa ampliamente en problemas prácticos y su ventaja es que tiene la misma dimensionalidad que .
Si la lista de distribución de variables aleatorias
gjzsj
entonces se puede obtener del Teorema 2.2
gjzsj
(2.30 )
Esta es una fórmula común para calcular la varianza.
Ahora, calculemos la varianza del error de tiempo de viaje diario de las dos marcas de relojes anteriores, porque = =0, usando la fórmula anterior, hay
Obviamente existe
Por supuesto, sería mucho más sencillo decir el párrafo anterior. Por lo tanto, la expectativa matemática y la varianza son símbolos numéricos de algunas características básicas de las variables aleatorias, por lo que a menudo se las denomina características numéricas de las variables aleatorias. Hay muchas otras características numéricas de las variables aleatorias. La expectativa matemática y la varianza son las dos características numéricas más básicas y comúnmente utilizadas. gjzsj
Ejemplo 2.17 Si obedece la distribución de Poisson con parámetros, intente encontrarlo.
La solución se llama =, y
gjzsj
Se obtiene de (2.30)
Se puede observar que la distribución de Poisson La La varianza de una variable aleatoria es el parámetro de la distribución.
A partir de la definición de varianza, podemos saber que la varianza en sí misma también es una expectativa matemática, por lo que a partir de las propiedades de las expectativas matemáticas, podemos encontrar que la varianza tiene las siguientes propiedades básicas comunes:
(1) Si c es una constante, DC = 0;
(2) Si c es una constante, entonces
(3) Si, son dos variables aleatorias independientes y existen, entonces gjzsj
(2.31)
La demostración de las propiedades (1) y (2) es fácil. La siguiente es la prueba de la propiedad (3), tenemos
Debido a que es independiente de,
hay
La propiedad (3) está demostrada. La propiedad (3) también se puede extender al caso de variables aleatorias de n dimensiones.
Si hay n variables aleatorias independientes y todas existen, entonces hay
(2.31)
buscar
Si las variables aleatorias obedecen a la distribución de 0- 1, conocido como =P, entonces es fácil saber que existe gjzsj.
(q=1-p)