Filtrado de mínimos cuadrados inversos
(1) Principios básicos
El filtrado de mínimos cuadrados inversos es la aplicación del filtrado de mínimos cuadrados (o filtrado de Wiener y filtrado óptimo) en el campo del filtrado inverso. La idea básica del filtrado de mínimos cuadrados es diseñar un operador de filtro para convertir una señal de entrada conocida en una salida que sea la más cercana a una señal de salida deseada dada en el sentido de error de mínimos cuadrados.
Supongamos que la señal de entrada es x(t), convuélvela con el factor de filtro h(t) para obtener la salida real y(t), es decir, y(t)=x(t)* h(t). Debido a varias razones, la producción real y (t) no puede ser exactamente la misma que la producción esperada y (t) dada de antemano, y solo se puede exigir que ambas estén óptimamente cercanas. Hay muchos criterios para juzgar si es la mejor aproximación, y el criterio de error de mínimos cuadrados es uno de ellos, es decir, cuando la suma de los cuadrados de sus errores es la más pequeña, significa que son la mejor aproximación. En este sentido, filtrar encontrando el factor de filtro h(t) es un filtrado de mínimos cuadrados.
Si la señal de entrada x(t) de otro filtro es la salida de un filtro, y la salida esperada Y(t) es la entrada del filtro, el factor de filtro a(t) obtenido según esta idea) se llama factor de filtro de mínimos cuadrados inversos, y usarlo para filtrar es el filtro de mínimos cuadrados inversos.
(2) Ecuación básica
En términos generales, el filtrado inverso de la exploración sísmica es el filtrado geodésico. La respuesta al impulso del filtro geodésico es una ondícula sísmica y debe ser físicamente realizable. Tomando la ondícula sísmica como entrada del filtro inverso, la salida esperada debería ser un pulso delta. Para mantener la generalidad, podemos suponer que la salida deseada es un pulso estrecho d(t). Además, el factor de filtro inverso es generalmente infinito, pero las operaciones en computadoras sólo pueden tomar términos finitos. Supongamos que el tiempo inicial del factor de filtro inverso a(t) a resolver es -m0 y la duración es (m 1), es decir,
a(t)=[a(-m0) , a(- m0 1), a(-m0 2),…, a(-m0 m)]
Cuando se conoce la entrada (wavelet sísmica)
b(t )=[ b(0), b(1),…, b(n)]
, la salida real es
exploración sísmica
salida real y el resultado esperado La suma de los errores cuadrados entre
Exploración sísmica
Coeficiente de filtro a(t)
Exploración sísmica
Porque
Exploración sísmica p>
es la función de autocorrelación de la wavelet sísmica y
Exploración sísmica
es la función de correlación cruzada entre la wavelet sísmica y la salida deseada, por lo que la ecuación (4 -51) se puede escribir como
Exploración sísmica
Este es un conjunto de ecuaciones, escritas en forma matricial de la siguiente manera
Exploración sísmica
En la fórmula se explota la simetría de la función de autocorrelación. En esta ecuación, la matriz de coeficientes es una matriz definida positiva especial (matriz de Tobritz), que no solo es simétrica con respecto a la diagonal principal, sino también simétrica con respecto a la subdiagonal. Los elementos de la diagonal principal son paralelos a la principal. diagonal. Los elementos en las líneas rectas de una línea diagonal son iguales.
La ecuación (4-52) o (4-53) se denomina ecuación básica, ecuación normal o ecuación normal de filtrado inverso de mínimos cuadrados, y puede resolverse mediante el método especial de recursividad de Levinson.
El factor de filtro obtenido al utilizar la ecuación básica anterior a veces se denomina factor de filtro de conformación de pulso, porque puede transformar la wavelet de entrada en una salida deseada de cualquier forma en la aplicación, lo que equivale a darle forma a la wavelet. .
No es difícil encontrar que el lado izquierdo de la ecuación (4-52) es la operación de convolución, por lo que la ecuación se puede reescribir como
a(t)*rbb( t)=rbd(t)
Convertido al dominio de la frecuencia, hay
A(ω)Rbb(ω)=Rbd(ω)
Eso es,
Exploración de terremotos
Los resultados muestran que este filtro de conformación de pulso óptimo también puede convertir la función de autocorrelación de la wavelet de entrada en la función de correlación cruzada de la wavelet y dar el resultado deseado. producción.
Si la salida deseada es un pulso delta, la correlación cruzada es
Exploración sísmica
La ecuación básica (4-53) se convierte en
Exploración sísmica
Se puede ver en esta ecuación que siempre que se conozca de antemano la respuesta al impulso del filtro terrestre, se puede obtener la función de autocorrelación. Sustituyéndola en esta ecuación, la. Se puede obtener el factor de filtrado inverso a(t), el factor de filtrado inverso a(t) se puede obtener convolucionando con el registro sísmico.
Exploración sísmica
Es decir, el resultado del filtrado inverso se aproxima al registro sísmico ideal (secuencia de coeficientes de reflexión), mejorando así la resolución longitudinal.
Vale la pena señalar que la selección de m0 está estrechamente relacionada con las propiedades de la ondícula sísmica b(t). Cuando b(t) es la wavelet de fase mínima, m0 = 0 (la razón se analiza en la siguiente sección, cuando b(t) es la wavelet de fase máxima, m0 = n m; fase mixta Para las wavelets, m0 debe ser un número positivo, que depende de la forma específica de la wavelet y generalmente se determina experimentalmente.
(3) Ecuaciones básicas con ondas desconocidas
Aunque las ecuaciones básicas anteriores existen, el problema aún no está resuelto, porque las ondas sísmicas a menudo se desconocen de antemano, por lo que se utilizan las ecuaciones anteriores. Aún no se puede resolver el factor de filtro inverso. Para encontrar el factor de filtro inverso sin conocer la wavelet, se deben agregar ciertas restricciones o suposiciones a la wavelet sísmica y la secuencia del coeficiente de reflexión, incluyendo
(1) Suponga que la secuencia del coeficiente de reflexión R(t ) es La secuencia aleatoria de ruido blanco, es decir, su autocorrelación es
Exploración sísmica
(2) Supongamos que la ondícula sísmica es la fase mínima. Según el supuesto ①, la autocorrelación rbb() de las ondas sísmicas puede ser reemplazada por la autocorrelación del registro sísmico g(t), porque
Exploración sísmica
Según el supuesto ②, se puede saber Los puntos cero de la transformada z B (z) de la wavelet sísmica b (t) están todos fuera del círculo unitario, es decir, los puntos cero del polinomio denominador del factor de filtro inverso a (t) de la transformada z A ( z) = 1/B (z) están todos fuera del círculo unitario, por lo que a (t) es estable y físicamente alcanzable. Los valores de t < A (t) en 0 son todos cero. Entonces m0=0, el término libre se convierte en [b (0), b(-1), ..., b (-m)] t . Debido a que b(t) debe ser físicamente realizable, entonces b(-1) =. 0, b(-2)=0,…, b(-m)=0.
Supongamos que a'(t)=a(t)/b(0), entonces la ecuación básica se convierte en
Exploración sísmica
Esta es la ecuación más utilizada. ecuaciones básicas para encontrar factores de filtro inversos en el caso de wavelets desconocidas. Los elementos de la matriz de coeficientes se pueden obtener directamente de los registros sísmicos. La diferencia entre el factor de filtrado inverso obtenido a'(t) y a(t) es solo varias veces, lo que no afecta el efecto de filtrado inverso de comprimir la wavelet y mejorar la resolución. También se conoce comúnmente como filtrado inverso de picos.
(4) Resuelva el problema de preblanqueo y eliminación de ruido de las ecuaciones básicas. La solución directa de las ecuaciones básicas anteriores a menudo no funciona bien. Los factores de filtro inversos obtenidos convergen lentamente y oscilan violentamente. La razón es que existen valores cero o cercanos a cero en el espectro de las ondas sísmicas. Se puede ver en la ecuación (4-49) que A (ω) tiende a infinito en este momento y, por supuesto, es imposible ser estable. La solución es agregar un pequeño ruido blanco al espectro del canal de entrada, lo que equivale a agregar un pequeño pico al valor de autocorrelación de retardo cero del canal de entrada, es decir, usar ( 1 λ)rgg(0) en su lugar. de rgg(0). Este método de procesamiento se llama eliminación de ruido antes del blanqueamiento.
λ es generalmente un número positivo pequeño, llamado coeficiente de ruido blanco, que puede ajustarse artificialmente según el nivel de ruido en el registro, pero cabe señalar que el resultado del filtrado inverso después del ruido blanco seguirá el pico (; una ondícula sísmica muy comprimida) pequeño movimiento. La aparición de pequeñas oscilaciones reduce la resolución de los resultados del filtrado inverso. Cuanto mayor sea λ, mayor será el impacto.